Question

【題目】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3．

（1）將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BEC，請(qǐng)你畫出△BEC．

（2）連接PE，求證：△PEC是直角三角形；

（3）填空：∠APB的度數(shù)為 ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）135°．

【解析】

試題分析：（1）將△APB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，即將A，P，兩點(diǎn)繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得出△CBE即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠PBE=∠ABC=90°，BP=BE=2，即可證得△PBE是等腰直角三角形，從而求得PE，最后根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得到△PEC是直角三角形；（3）連接PE后，存在兩個(gè)直角三角形：Rt△PBE和Rt△PCE，先求得∠BEC的度數(shù)，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可得出∠APB的度數(shù)．

試題解析：（1）如圖所示，△CBE即為所求；

（2）證明：∵△BEC是由△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的，

∴△BEC≌△BPA，∠PBE=90°，

∴BE=BP=2，CE=PA=1，

∴△PBE是等腰直角三角形，CE2=1，

∴Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2=4+4=8，

又∵PC=3，

∴PC2=9，

∴在△PCE中，PE2+CE2=PC2，

∴△PCE是直角三角形，且∠PEC=90°；

（3）由（2）可得，△PCE是直角三角形，△PBE是等腰直角三角形，

∴∠PEC=90°，∠BEP=45°，

∴∠BEC=90°+45°=135°，

又∵△BEC≌△BPA，

∴∠APB=∠BEC=135°．