【題目】給出如下定義:對于⊙O的弦MN和⊙O外一點P(M,O,N三點不共線,且點P,O在直線MN的異側(cè)),當(dāng)∠MPN+∠MON=180°時,則稱點P是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點.圖1是點P為線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點的示意圖.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的半徑為1.
(1)如圖2,已知M(,),N(,﹣),在A(1,0),B(1,1),C(,0)三點中,是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點的是 ;
(2)如圖3,M(0,1),N(,﹣),點D是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點.
①∠MDN的大小為 ;
②在第一象限內(nèi)有一點E(m,m),點E是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點,判斷△MNE的形狀,并直接寫出點E的坐標(biāo);
③點F在直線y=﹣x+2上,當(dāng)∠MFN≥∠MDN時,求點F的橫坐標(biāo)x的取值范圍.
【答案】(1)C;(2)①60;②E(,1);③點F的橫坐標(biāo)x的取值范圍≤xF≤.
【解析】
(1)由題意線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點的是以線段MN的中點為圓心,為半徑的圓上,所以點C滿足條件;
(2)①如圖3-1中,作NH⊥x軸于H.求出∠MON的大小即可解決問題;
②如圖3-2中,結(jié)論:△MNE是等邊三角形.由∠MON+∠MEN=180°,推出M、O、N、E四點共圓,可得∠MNE=∠MOE=60°,由此即可解決問題;
③如圖3-3中,由②可知,△MNE是等邊三角形,作△MNE的外接圓⊙O′,首先證明點E在直線y=-x+2上,設(shè)直線交⊙O′于E、F,可得F(,),觀察圖形即可解決問題;
(1)由題意線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點的是以線段MN的中點為圓心,為半徑的圓上,所以點C滿足條件,
故答案為C.
(2)①如圖3-1中,作NH⊥x軸于H.
∵N(,-),
∴tan∠NOH=,
∴∠NOH=30°,
∠MON=90°+30°=120°,
∵點D是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點,
∴∠MDN+∠MON=180°,
∴∠MDN=60°.
故答案為60°.
②如圖3-2中,結(jié)論:△MNE是等邊三角形.
理由:作EK⊥x軸于K.
∵E(,1),
∴tan∠EOK=,
∴∠EOK=30°,
∴∠MOE=60°,
∵∠MON+∠MEN=180°,
∴M、O、N、E四點共圓,
∴∠MNE=∠MOE=60°,
∵∠MEN=60°,
∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°,
∴△MNE是等邊三角形.
③如圖3-3中,由②可知,△MNE是等邊三角形,作△MNE的外接圓⊙O′,
易知E(,1),
∴點E在直線y=-x+2上,設(shè)直線交⊙O′于E、F,可得F(,),
觀察圖象可知滿足條件的點F的橫坐標(biāo)x的取值范圍≤xF≤.
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【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D與點B在AC同側(cè),∠DAC>∠BAC,且DA=DC,過點B作BE∥DA交DC于點E,M為AB的中點,連接MD,ME.
(1)如圖1,當(dāng)∠ADC=90°時,線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)如圖2,當(dāng)∠ADC=60°時,試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,當(dāng)∠ADC=α?xí)r,求的值.
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【題目】如圖,矩形ABCD的頂點A,B在x軸上,且關(guān)于y軸對稱,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點C,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象分別與AD,CD交于點E,F(xiàn),若S△BEF=7,k1+3k2=0,則k1等于_____.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中.拋物線y=﹣x2+4x+3與y軸交于點A,拋物線的對稱軸與x軸交于點B,連接AB,將△OAB繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B.
(1)用配方法求拋物線的對稱軸并直接寫出A,B兩點的坐標(biāo);
(2)如圖1,當(dāng)點A'第一次落在拋物線上時,∠O'BO=n∠OAB,請直接寫出n的值;
(3)如圖2,當(dāng)△OAB繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,直線A'O'交x軸于點M,求△A'MB的面積;
(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,連接OO',當(dāng)∠O'OB=∠OAB時.直線A'O'的函數(shù)表達式是 .
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【題目】如圖1,△ABC中,AC=,∠ACB=45°,tanB=3,過點A作BC的平行線,與過C且垂直于BC的直線交于點D,一個動點P從B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿BC方向運動,過點P作PE⊥BC,交折線BA-AD于點E,以PE為斜邊向右作等腰直角三角形PEF,設(shè)點P的運動時間為t秒(t>0).
(1)當(dāng)點F恰好落在CD上時,此時t的值為 ;
(2)若P與C重合時運動結(jié)束,在整個運動過程中,設(shè)等腰直角三角形PEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為S,請求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)如圖2,在點P開始運動時,BC上另一點Q同時從點C出發(fā),以每秒2個單位長度沿CB方向運動,當(dāng)Q到達B點時停止運動,同時點P也停止運動,過Q作QM⊥BC交射線CA于點M,以QM為斜邊向左作等腰直角三角形QMN,若點P運動到t秒時,兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一直線上,請直接寫出t的值.
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【題目】在中,.
(1)如圖1,若將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段連接則的面積;
(2)如圖2,點為延長線上一個動點,連接以為直角項點,為直角邊作等腰直角連接,求證:;
(3)如圖3,點為線段上兩點,且點是線段上一個動點,點是線段上一個動點,是否存在點使的值最小,若存在,求出最小值;若不存在,說明理由.
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【題目】一次函數(shù) y kx b k 0的圖象與反比例函數(shù) y m 0的圖象交于 A (-1,-1),B (n,2)兩點.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;
(2)點 P 在 x 軸上,過點 P 做垂直于 x 軸的直線 l,交直線 AB 于點 C,若AB=2AC,請直接寫出點 C 的坐標(biāo).
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【題目】如圖,BD 是菱形ABCD 的對角線,∠A=30°.
(1)請用尺規(guī)作圖法,作AB 的垂直平分線EF,垂足為E,交AD 于F;(不要 求寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,連接BF,求∠DBF 的度數(shù).
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【題目】新能源汽車環(huán)保節(jié)能,越來越受到消費者的喜愛.各種品牌相繼投放市場.一汽貿(mào)公司經(jīng)銷某品牌新能源汽車.去年銷售總額為5000萬元,今年1~5月份,每輛車的銷售價格比去年降低1萬元.銷售數(shù)量與去年一整年的相同.銷售總額比去年一整年的少20%,今年1~5月份每輛車的銷售價格是多少萬元?設(shè)今年1~5月份每輛車的銷售價格為x萬元.根據(jù)題意,列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
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