Question

【題目】如圖，海中有一小島P，在距小島16 海里范圍內(nèi)有暗礁，一輪船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東45°，且A，P之間的距離為32海里，若輪船繼續(xù)向正東方向航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．如果有危險(xiǎn)，輪船自A處開(kāi)始至少沿東偏南多少度方向改變航向，才能安全通過(guò)這一海域？

Answer 1

【答案】解：如圖，過(guò)P作PC⊥AM于C，則∠PCA=90°，且PC的長(zhǎng)是A沿AM方向距離P點(diǎn)的最短距離，

∵∠PAM=90°﹣45°=45°，

∴∠APC=45°=∠PAC，

∴PC=AC，

由勾股定理得：2PC2=AP2=322，

∴PC=16 ，

16 海里＜16 海里，

∴輪船繼續(xù)向正東方向航行，有觸礁的危險(xiǎn)；

設(shè)A沿AD方向航行，正好沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，如圖：

過(guò)P作PE⊥AD于E，則此時(shí)PE=16 海里，

在Rt△PAE中，sin∠PAE= ，

∴∠PAE=60°，

∠MAD=60°﹣45°=15°，

即輪船自A處開(kāi)始至少沿東偏南15度方向航行，才能安全通過(guò)這一海域．

【解析】過(guò)P作PC⊥AM垂足為C，則△PAC為等腰直角三角形，然后可求得PC的長(zhǎng)，然后依據(jù)PC與暗礁半徑的大小可做成判斷，設(shè)A沿AD方向航行，正好沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，過(guò)P作PE⊥AD于E，則此時(shí)PE=16 海里，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠PAE的度數(shù)，最后依據(jù)∠MAD=∠PAD-∠PAM求解即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解特殊角的三角函數(shù)值的相關(guān)知識(shí)，掌握分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”．