Question

已知：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120°，將直角三角板PMN的30°角的頂點P與點A重合，旋轉(zhuǎn)三角板PMN，在旋轉(zhuǎn)過程中，三角板PMN的直角邊PM與直線BC交于點E，斜邊PN與直線DC交于點F，連接EF．
（1）當(dāng)E、F分別在線段BC、CD上時，（如圖①），求證：EF=BE+DF；
（2）當(dāng)E、F分別在直線BC、CD上時，（如圖②、圖③），線段EF、BE、DF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

（1）延長CD到H點，使DH=BE，連接AH，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠ADF+∠ADH=180°，
∴∠ADH=∠B，
∵AD=AB，DH=BE，
∴在△ADH和△ABE中，

DH=BE ∠ADH=∠ABE AD=AB

，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠HAD=∠EAB，
∵∠DAB=60°，∠FAE=30°，
∴∠EAB+∠DAF=30°，
∴∠DAF+∠HAD=30°，即∠HAF=30°，
∴在△HAF和△EAF中，

AH=AE ∠HAF=∠EAF AF=AF

，
∴△HAF≌△EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HD+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，

（2）如圖②，BE=EF+DF，
如圖③，DF=EF+BE．