Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+3與拋物線 交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為 ．動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)Q．當(dāng)PQ不與y軸重合時(shí)，以PQ為邊作正方形PQMN，使MN與y軸在PQ的同側(cè)，連結(jié)PM．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求b、c的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在直線AB上時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)正方形PQMN的周長(zhǎng)為C，求C與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出C隨m增大而增大時(shí)m的取值范圍．
（4）當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)A，

∴A（3，0），

∵點(diǎn)B在直線y=﹣x+3上，且B的橫坐標(biāo)為﹣ ，

∴B（﹣ ， ），

∵A，B在拋物線上，

∴ ，

∴

（2）解：方法1、由（1）知，b= ，c= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+ ，

設(shè)P（m，﹣ m2+ m+ ），

∵點(diǎn)Q在直線y=﹣x+3上，

∴Q（m，﹣m+3），

∵點(diǎn)N在直線AB上，

∴N（（ m2﹣ m﹣ ），（﹣ m2+ m+ ）），

∴PN=| m2﹣ m﹣ ﹣m|=| m2﹣ m﹣ |

∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣（﹣m+3）|=|﹣ m2+ m+ |，

∵四邊形PQMN時(shí)正方形，

∴PN=PQ，

∴| m2﹣ m﹣ |=|﹣ m2+ m+ |，此時(shí)等式恒成立，

當(dāng)m＜0且m≠﹣ 時(shí)，

∵M(jìn)N與y軸在PQ的同側(cè)，

∴點(diǎn)N在點(diǎn)P右側(cè)，

∴ m2﹣ m﹣ ＞m，

∴m＜﹣ ，

當(dāng)m＞0且m≠3時(shí)，

∵M(jìn)N與y軸在PQ的同側(cè)，

∴點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，

∴ m2﹣ m﹣ ＜m，

∴﹣ ＜m＜3，

∴0＜m＜3，

即：m的范圍為m＜﹣ 或0＜m＜3；

方法2、如圖，

記直線AB與y軸的交點(diǎn)為D，

∵直線AB的解析式為y=﹣x+3，

∴D（0，3），

∴OD=3，

∵A（3，0），

∴OA=3，

∴OA=OB，

∴∠ODA=45°，

∵PQ∥y軸，

∴∠PQB=45°，

記：直線PN交直線AB于N'，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴∠QPN=90°，

∴∠PN'Q=45°=∠PQN'，

∴PQ=PN'，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PQ=PN，

點(diǎn)N在點(diǎn)P的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)N'都在直線AB上，

∵M(jìn)N與y軸在PQ的同側(cè)，

∴m的范圍為m＜﹣ 或0＜m＜3

（3）解：由（1）知，b= ，c= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+ ，

設(shè)P（m，﹣ m2+ m+ ），

∵點(diǎn)Q在直線y=﹣x+3上，

∴Q（m，﹣m+3），

∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣（﹣m+3）|=|﹣ m2+ m+ |，

∵點(diǎn)P在點(diǎn)A，B之間的拋物線上，

∴PQ=﹣ m2+ m+ ，（﹣ ＜m＜3且m≠0），

∵設(shè)正方形PQMN的周長(zhǎng)為C，

∴C=4PQ=4（﹣ m2+ m+ ）=﹣2m2+ m+2=﹣2（m﹣ ）2+ ，

∵C隨m增大而增大，

∴m＜ ，

∴﹣ ＜m＜ 且m≠0

（4）解：當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

∴m＜0或0＜m＜3

當(dāng)0＜m＜3，PN＞yP，

由（2）知，P（m，﹣ m2+ m+ ），PQ=|﹣ m2+ m+ |=﹣ m2+ m+

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN=PQ=﹣ m2+ m+ ＞﹣ m2+ m+ ，

∴m＞3，所以，此種情況不符合題意；

當(dāng)m＜0時(shí)，PN＞yP，

∵PQ= m2﹣ m﹣ ，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN=PQ= m2﹣ m﹣ ＞﹣ m2+ m+ ，

∴m＞3（舍）或m＜﹣ ，

即：當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m＜﹣

【解析】（1）先確定出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論。
（2）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在直線y=﹣x+3上，點(diǎn)N在直線AB上，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再表示出Q、N的坐標(biāo)，即可得出PN=PQ，再用MN與y軸在PQ的同側(cè)，建立不等式即可得出結(jié)論。
（3）點(diǎn)P在點(diǎn)A，B之間的拋物線上，根據(jù)（2）可知PQ的長(zhǎng)，設(shè)正方形PQMN的周長(zhǎng)為C，根據(jù)C=4PQ，建立C與m的函數(shù)關(guān)系式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得結(jié)論。
（4）分兩種情況討論計(jì)算即可求出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．