Question

【題目】已知定直線(xiàn)，定點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓過(guò)點(diǎn)且與相切.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）橢圓的弦的中點(diǎn)分別為，若平行于，則斜率之和是否為定值？ 若是定值，請(qǐng)求出該定值；若不是定值請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）斜率之和為定值

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意構(gòu)建關(guān)于的方程組，即可得橢圓方程．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，

設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=x+t，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得：3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韋達(dá)定理可計(jì)算

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

橢圓過(guò)點(diǎn)，所以①，

將代入橢圓方程化簡(jiǎn)得： ，

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓相切，所以②，

解①②可得， ，所以橢圓方程為；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則有，

由題意可知，所以，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得：

由題意可知③

，

通分后可變形得到

將③式代入分子

，

所以斜率之和為定值.