Question

已知：1×2×3×4×…×1998=21ⁿ×a
其中：21ⁿ表示有n個21連乘，a是自然數(shù)，求n的最大值．

Answer 1

分析：因為21=7×3，由此我們可分7和3兩種情況來進行分析：
用[]表示一個數(shù)的整數(shù)部分，這1998個因數(shù)中，7的倍數(shù)有[1998÷7]=285個，就是說有：7×1，7×2，7×3…7×285=1995，共285個，則這285個因數(shù)中，7×7的倍數(shù)共有：[285÷7]=40個；在這40個因數(shù)中，7×7×7的倍數(shù)有[40÷7]=5個，所以，原題左式中有質(zhì)因數(shù)7的個數(shù)：285+40+5=330個．
同理可法推出，原題左式有質(zhì)因數(shù)3的個數(shù)為：666+222+74+24+8+2=996個．
因為996＞330所以，原因中有330個因數(shù)21，即n的最大值是330．

解答：解：21=3×7，
則這1998個因數(shù)中，7的倍數(shù)有：
[1998÷7]=285個，
7×7的倍數(shù)共有：[285÷7]=40個，
7×7×7的倍數(shù)有[40÷7]=5個，所以，原題左式中有質(zhì)因數(shù)7的個數(shù)：285+40+5=330個．
又顯然這1998個因數(shù)中含有3的約數(shù)個數(shù)多于含有7的約數(shù)個數(shù)，
所以，原因數(shù)中有330個因數(shù)21，
即n的最大值是330．

點評：首先將21分解質(zhì)因數(shù)，然后根據(jù)其質(zhì)因數(shù)的情況進行分析解答是完成本題的關(guān)鍵．