Question

設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的非零自然數(shù)．
（1）如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值？
（2）如果它們的最小公倍數(shù)是60，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)樽钚」�倍�?shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積求解．所以72=1×72=8×9=2×2×2×3×3，所以a和b可能是1、72或8、9或72、2、或72、3或72、4或72、6或72、8、或72、9或72、12或72、18或72、36或36、8或36、24、或24、18或24、9或18、8．
（2）60=2×2×3×5，先確定a，求出b因數(shù)，找出這樣的數(shù)組，然后求出它們的差，從而得解．

解答：解：（1）72=1×72=8×9=2×2×2×3×3，
所以：a和b可能是1、72或8、9或72、2、或72、3或72、4或72、6或72、8、或72、9或72、12或72、18或72、36或36、8或36、24、或24、18或24、9或18、8；
72+1=73，
72+2=74，
72+3=75，
72+4=76，
72+6=78，
72+8=80，
72+9=81，
72+12=84，
72+18=908，
72+36=108，
36+8=44，
36+24=60，
24+18=42，
24+9=33，
18+8=26，
9+8=17，
所以a與b之和可以有16種不同的值；
答：一共有16種不同的值．

（2）60=2×2×3×5，
a=60，b可取60的全部因子式共12個(gè)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60
a=30，b可取全部因子中所有4的倍數(shù)共4個(gè)：4，12，20，60
a=20，b可取全部因子中所有3的倍數(shù)共6個(gè)：3，6，12，15，30，60
a=15，b可取全部因子中所有4的倍數(shù)共4個(gè)：4，12，20，60
a=12，b可取全部因子中所有5的倍數(shù)共6個(gè)：5，10，15，20，30，60
a=10，b可取全部因子中所有12的倍數(shù)共2個(gè)：12，60
a=6，b可取全部因子中所有20的倍數(shù)共2個(gè)：20，60
a=5，b可取全部因子中所有12的倍數(shù)共2個(gè)：12，60
a=4，b可取全部因子中所有15的倍數(shù)共3個(gè)：15，30，60
a=3，b可取全部因子中所有20的倍數(shù)共2個(gè)：20，60
a=2，b可取全部因子中所有60的倍數(shù)共1個(gè)：60
a=1，b可取全部因子中所有60的倍數(shù)共1個(gè)：60
共計(jì)12+4+6+4+6+2+2+2+3+2+1+1=45對(duì)，
如果不考慮a，b的順序也應(yīng)有23種情況．
（1，60），（2，60），（3，20），（3，60），（4，15），（4，30），（4，60），（5，12），（5，60），（6，20），（6，60），
（10，12），（10，60），（12，15，），（12，20），（12，30），（12，60），
（15，20），（15，60），（20，30），（20，60），（30，60），（60，60）
它們的差是：0，2，3，5，7，8，10，11，14，17，18，26，30，40，45，48，50，54，55，56，57，58，59．
答：共有23種不同的差．

點(diǎn)評(píng)：解答此題應(yīng)首先把72和60進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，然后根據(jù)分解的情況進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論．