Question

操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q．探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的自變量取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得AC平分∠BCD，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PE=PF，然后求出∠EPF=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△BPE和△QPF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）先求出四邊形PECF是正方形，再根據(jù)全等三角形的面積相等得到四邊形PBCQ的面積等于正方形PECF的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)表示出PC，再根據(jù)正方形的面積等于對(duì)角線平方的一半列式整理即可得解；
（3）延長(zhǎng)BP交CD于G，根據(jù)點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上判斷出∠PCQ＞90°，從而得到PC=QC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠1=∠2，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠3=∠5，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠4=∠5，根據(jù)等角對(duì)等邊的想可得AB=AP，從而得解．

解答：解：（1）結(jié)論：PQ=PB．
證明：如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
又∵PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，
∴PE=PF，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠2+∠EPQ=90°，
又∵∠1+∠EPQ=∠BPQ=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△BPE和△QPF中

∠1=∠2 PE= PF ∠PEB= ∠PFQ

∴△BPE≌△QPF（ASA），
∴PB=PQ；

（2）解：∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四邊形PECF是矩形，
又∵PE=PF，
∴四邊形PECF是正方形，
∵正方形ABCD，AB=1，
∴AC=

2

，
∵AP=x，
∴PC=

2

-x，
由（1）知△BPE≌△QPF，
∴S_△BPE=S_△QPF，
∴S_{四邊形PBCQ=}S_{正方形PECF}，
∴S_{四邊形PBCQ}=

1

2

PC²=

1

2

（

2

-x）²=

1

2

x²-

2

x+1，
即y=

1

2

x²-

2

x+1，
∵點(diǎn)Q在CD上，
∴PC＞PQ，
∴

2

-x＞

2

2

，
解得x＜

2

2

，
所以，x的取值范圍是0≤x＜

2

2

；

（3）解：如圖2，延長(zhǎng)BP交DC于G，
∵點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，
∴∠PCQ＞90°，
∴∴等腰△PCQ中，PC=QC，
∴∠1=∠2，
∵∠BPQ=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠5=∠3，
在正方形ABCD中，AB∥DC，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠3，
∴AP=AB，
∴x=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的問題，往往通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形求解．