在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E．求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．
B．已知二階矩陣A=

2 a b 0

屬于特征值-1的一個特征向量為

1 -3

，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數(shù)方程為

x=- 3 t y=1+t

（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設(shè)x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E．求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．
B．已知二階矩陣屬于特征值-1的一個特征向量為，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設(shè)x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

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隨著環(huán)保理念的深入，用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行．下圖是其中一個抽象派雕塑的設(shè)計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．
（1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現(xiàn)在手中的材料，求BD與α應(yīng)成的角；
（2）設(shè)計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平
行的平面板裝飾物．但他擔(dān)心此設(shè)計不一定能實現(xiàn)．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量

MN

與

AC

，

BD

共面，寫出證明過程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請?zhí)嬖O(shè)計師打消另一個疑慮：即MN要準(zhǔn)備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關(guān)（θ為設(shè)計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關(guān)系式，并幫他算出無論如何設(shè)計MN都一定夠用的長度．

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隨著環(huán)保理念的深入，用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行．下圖是其中一個抽象派雕塑的設(shè)計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．
（1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現(xiàn)在手中的材料，求BD與α應(yīng)成的角；
（2）設(shè)計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平
行的平面板裝飾物．但他擔(dān)心此設(shè)計不一定能實現(xiàn)．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量與，共面，寫出證明過程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請?zhí)嬖O(shè)計師打消另一個疑慮：即MN要準(zhǔn)備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關(guān)（θ為設(shè)計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關(guān)系式，并幫他算出無論如何設(shè)計MN都一定夠用的長度．

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隨著環(huán)保理念的深入，用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行．下圖是其中一個抽象派雕塑的設(shè)計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．
（1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現(xiàn)在手中的材料，求BD與α應(yīng)成的角；
（2）設(shè)計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平
行的平面板裝飾物．但他擔(dān)心此設(shè)計不一定能實現(xiàn)．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量與，共面，寫出證明過程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請?zhí)嬖O(shè)計師打消另一個疑慮：即MN要準(zhǔn)備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關(guān)（θ為設(shè)計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關(guān)系式，并幫他算出無論如何設(shè)計MN都一定夠用的長度．

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一、填空題

1．   2．    3．2   4．  5. 10   6．i100  7．  

8．    9．   10．   11．   12．

二、選擇題

13．   14．A  15．A．  16． D

三、解答題

17．由已知可得該幾何體是一個底面為矩形,高為4,頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD ;-----------------------------------------（3分）

   （1）     -------------（3分）

   （2）  該四棱錐有兩個側(cè)面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為

, ---------------------（2分）

另兩個側(cè)面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,

AB邊上的高為   -------（2分）

因此   ------（2分）

18．

   （1）由題意可得：=5---------------------------（2分）

由：  得：=314--------（4分）

或：，

  （2）方法一：由：或------（1分）

        或--------（2分）

    得：0.0110-------------------------------------------------------------（1分）

方法二：由：

    得：----------------------------------------------------------------（1分）

由：點和點的縱坐標(biāo)相等，可得點和點關(guān)于點對稱---（1分）

即：------------------------------------------------------------（1分）

得：0.011-----------------------------------------------------------------------（1分）

（理科二種解法各1分）

19．解：（1）、函數(shù)的定義域為R；----------------------------（1分）

當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；----------（1分）

所以，函數(shù)在定義域R上不是單調(diào)函數(shù)，----------------------（1分）

所以它不是“類函數(shù)” -----------------------------------------------------------（1分）

   （2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，--------------------------（2分）

要使它是“類函數(shù)”，即存在兩個不相等的常數(shù) ，

使得同時成立，------------------------（1分）

即關(guān)于的方程有兩個不相等的實根，-------------------（2分）

，--------------------------------------------------------------（1分）

亦即直線與曲線在上有兩個不同的交點，-（2分）

所以，----------------------------------------------------------------------------（2分）

20．解：

   （1）

若，由，得數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列------------------（3分）

若，，數(shù)列不構(gòu)成等比數(shù)列--------------------------------------（1分）

   （2）由，得：-------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------（1分）

----------------------------------------------（1分）

----（1分）

------------------------------------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------------------（1分）

   （3）

由：

得：----------------------------------------------------（2分）

---------------------------------------------（1分）

當(dāng)時

所以，數(shù)列從第二項起單調(diào)遞增數(shù)列----------------------（2分）

當(dāng)時，取得最小值為 -------------------------（1分）

21． 解：

   （1）雙曲線焦點坐標(biāo)為，漸近線方程---（2分）

雙曲線焦點坐標(biāo)，漸近線方程----（2分）

   （2）

得方程: -------------------------------------------（1分）

設(shè)直線分別與雙曲線的交點、  的坐標(biāo)分別為，線段 中點為坐標(biāo)為

----------------------------------------------------------（1分）

得方程: ----------------------------------------（1分）

設(shè)直線分別與雙曲線的交點、  的坐標(biāo)分別為，線段 中點為坐標(biāo)為

---------------------------------------------------（1分）

由，-----------------------------------------------------------（1分）

所以，線段與不相等------------------------------------（1分）

   （3）

若直線斜率不存在，交點總個數(shù)為4；-------------------------（1分）

若直線斜率存在，設(shè)斜率為，直線方程為

直線與雙曲線：

    得方程:   ①

直線與雙曲線：

     得方程:    ②-----------（1分）

的取值

直線與雙曲線右支的交點個數(shù)

直線與雙曲線右支的交點個數(shù)

交點總個數(shù)

1個（交點）

1個（交點）

2個

1個（，）

1個（，）

2個

1個（與漸進(jìn)線平行）

1個（理由同上）

2個

2個（，方程①兩根都大于2）

1個（理由同上）

3個

2個（理由同上）

1個（與漸進(jìn)線平行）

3個

2個（理由同上）

2個（，方程②

兩根都大于1）

4個

得：-------------------------------------------------------------------（3分）

由雙曲線的對稱性可得：

的取值

交點總個數(shù)

2個

2個

3個

3個

4個

得：-------------------------------------------------------------------（2分）

綜上所述：（1）若直線斜率不存在，交點總個數(shù)為4；

   （2）若直線斜率存在，當(dāng)時，交點總個數(shù)為2個；當(dāng)或 時，交點總個數(shù)為3個；當(dāng)或時，交點總個數(shù)為4個；---------------（1分）

上海市奉賢區(qū)2009年4月高考模擬考試

數(shù)學(xué)試題（文）

考生注意：

1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條形碼.

2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.

一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，只要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得5分，否則一律得零分.

1．___________.

2．函數(shù)的定義域為__________ .

3．已知復(fù)數(shù)，則____________.

4．的值為           

5．的展開式中的系數(shù)為          .

6．右圖給出的是計算的值的一個程序框圖， 

其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是__________.

7．計算：設(shè)向量，若向量與向量垂直，則實數(shù)     .

8．若直線與圓沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是___________.

9．在等差數(shù)列中，設(shè)，對任意，有 則_____________.