在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn)D、E．求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長(zhǎng)．
B．已知二階矩陣A=
2a
b0
屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為
1
-3
，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線C上點(diǎn)M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設(shè)x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值．
分析：A．由題意，連接OC，可得△ACB是含有60°角的直角三角形，結(jié)合切線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角算出∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)BC=3算出線段AE的長(zhǎng)．
B．根據(jù)特征向量的定義，用待定系數(shù)法可求出矩陣A的值，再用逆矩陣的公式即可求出矩陣A的逆矩陣．
C．分別將曲線C與直線l化成普通方程，然后將直線l平移到與曲線C相切，即可得到與l較遠(yuǎn)的切線到l的距離即為所求．
D．（1）利用基本不等式，結(jié)合同向兩個(gè)不等式相乘，即可得到（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3成立；
（2）分兩種情況：x為正數(shù)和x為負(fù)數(shù)或零加以討論，并結(jié)合因式分解判斷積的符號(hào)，不難得到對(duì)任意x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3仍然成立．
解答：解：A．如圖，連接OC，可得BC=OB=OC=3，
因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，
所以∠DCA=60°，結(jié)合AD⊥DC得∠DAC=30°．
又因?yàn)椤螦CB=90°，得∠CAB=30°，所以∠EAB=60°，
從而∠ABE=30°，于是AE=
1
2
AB=3．
B．根據(jù)題意，得
2a
b0
•
1
-3
=
1
-3
，即
2-3a
b
=
1
-3
，可得
2-3a=1
b=-3
，解之得a=
1
3
，b=-3
∴A=
2
1
3
-30
，再由逆矩陣公式可得A的逆矩陣為A-1=
0-
1
3
32
；
C．將曲線C的極坐標(biāo)方程化成普通方程，得
x2
3
+y2=1，
直線l的普通方程為：x+
3
y-
3
=0，
設(shè)動(dòng)直線m：x+
3
y+n=0，與曲線C相切，
聯(lián)解
x2
3
+y2=1
x+
3
y+n=0
，由根的判別式，解得n=±
6

檢驗(yàn)得當(dāng)n=
6
時(shí)，直線m與曲線C的切點(diǎn)到直線l的距離最大，
這個(gè)最大距離為d=
|
6
+
3
|
1+3
=
3
+
6
2

∴曲線C上點(diǎn)M到直線l的距離的最大值是
3
+
6
2
．
D．（1）∵x是正數(shù)，∴1+x≥2
x
，1+x2≥2x，1+x3≥2
x3

由于以上3個(gè)不等式的兩邊都是正數(shù)，所以將它們相乘可得：
（1+x）（1+x2）（1+x3）≥2
x
•2x•2
x3
=8x3，
即不等式：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3對(duì)任意正數(shù)x恒成立；
（2）①當(dāng)x＞0時(shí)，由（1）的結(jié)論可得（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3成立；
②當(dāng)x≤0時(shí)，（1+x）（1+x2）（1+x3）=（1+x）2（1+x2）（1-x+x2）=（1+x）2（1+x2）[（x-
1
2
）2+
3
4
]
而（1+x）2＞0，1+x2＞0且（x-
1
2
）2+
3
4
≥
3
4
＞0，可得（1+x）（1+x2）（1+x3）＞0
因?yàn)?x3≤0，所以（1+x）（1+x2）（1+x3）＞8x3
綜上所述，對(duì)任意x∈R，都有不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3成立．
點(diǎn)評(píng)：本題通過幾道解答題，考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)、矩陣變換、不等式的證明和平面幾何證明等理科附加知識(shí)的掌握，屬于綜合性較強(qiáng)的中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．
A選修4-1：幾何證明選講
如圖，延長(zhǎng)⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，過點(diǎn)B作DE的垂線，垂足為點(diǎn)C．
求證：∠ACB=
1
3
∠OAC．
B選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
.
11
21
.
，向量
β
=
1
2
．求向量
a
，使得A2
a
=
β
．
C選修4-3：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
a
3cos2θ+4sin2θ
，焦距為2，求實(shí)數(shù)a的值．
D選修4-4：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+
(a+b+c)2
3
（a，b．c為實(shí)數(shù)）的最小值為m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交⊙O于N，過
N點(diǎn)的切線交CA的延長(zhǎng)線于P．
（1）求證：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2
3
，OA=
3
OM，求MN的長(zhǎng)．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=
.
1a
b1
.
的作用下變換為曲線x2-2y2=1，求實(shí)數(shù)a，b的值；
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，D為PA的中點(diǎn)，過點(diǎn)D引割線交⊙O于B、C兩點(diǎn)．求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標(biāo)記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB2=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實(shí)數(shù)，如果矩陣M=
1a
b2
所對(duì)應(yīng)的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．
C、（選修4-4，：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
設(shè)M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的動(dòng)點(diǎn)，判斷兩曲線的位置關(guān)系并求M、N間的最小距離．
D、（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c是不完全相等的正數(shù)，求證：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．

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