求S_n=1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）（n∈N^*）可用如下方法：

1×2= 1 3 (1×2×3-0×1×2) 2×3= 1 3 (2×3×4-1×2×3) 3×4= 1 3 (3×4×5-2×3×4) … n(n+1)= 1 3 [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]

將以上各式相加，得S_n=

1

3

n（n+1）（n+2），仿此方法，求S_n=1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n∈N^*）．

求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，(1+

2

)n必可表示成

s

+

s-1

的形式，其中s∈N₊．

求在區(qū)間[a，b]（b＞a，a，b∈N*）上分母是3的不可約分?jǐn)?shù)之和．

可以證明，對(duì)任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a₁，a₂，a₃每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．求證：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在滿(mǎn)足（2）中條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，寫(xiě)出一個(gè)這樣的無(wú)窮數(shù)列（不需要證明它滿(mǎn)足條件）； 若不存在，說(shuō)明理由．