如果鋁合金材料總長度為m共有n條豎檔時, 那么當豎檔AB多少時,長方形框架ABCD的面積最大. 圖案(4) 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

某校九年(1)班數(shù)學興趣小組在社會實踐活動中,進行了如下的課題研究:用一定長度的鋁合金材料,將它設計成外觀為長方形的三種框架,為了使設計出的長方形框架面積最大.小組討論后,同學們做了以下三種試驗:                  

圖案(1)                  圖案(2)                       圖案(3)          

請根據(jù)以上圖案回答下列問題:

(1)在圖案(1)中,如果鋁合金材料總長度(圖中所有線段的長度和)為6米,當豎檔AB長為1米,長方形框架ABCD的面積是          平方米;

(2)在圖案(2)中,如果鋁合金材料總長度為6米,設豎檔AB為米,長方形框架ABCD的面積為S=                 (用含的代數(shù)式表示);當AB=         米時, 長方形框架ABCD的面積S最大;

(3)在圖案(3)中,如果鋁合金材料總長度為a米, 設豎檔AB為米,當AB=         米時, 長方形框架ABCD的面積S最大;

(4)經(jīng)過這三種情形的試驗,他們發(fā)現(xiàn)對于圖案(4)、 圖案(5)……這樣的情形也存在著一定的規(guī)律. 探索: 如下圖,如果鋁合金材料總長度為a米,AD邊上共有n條豎檔時, 那么當豎檔AB長為多少米時,長方形框架ABCD的面積最大,最大面積為多少?                                     

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說明:對于解題過程中有的題目可用多種解法(或多種證明方法),如果考生的解答與參考答案不同,請參照此評分標準酌情給分.

一. 選擇題(本題共10小題,每小題4分,共40分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

B

D

B

A

D

C

C

評分標準

選對一題給4分,不選,多選,錯選均不給分

二、填空題(本題有6小題,每小題5分,共30分)

11.X≠6 ;      12. 2;    13.8;           14.  65°;   

15.96 ;        16. (0,0),(0,),(0,-3)寫對一個給3分,兩個4分,三個給5分

三、解答題(本題有8小題,共80分)

17. (本題8分)

(1)解:原式=1+3-                                          …………(3分)

                                                  …………(1分)

(2)解:愿方程可化為:x=3(x-2 )                                 …………(2分)

                    x=3                                      …………(1分)

經(jīng)檢驗 :x=3 是原方程的解.                              …………(1分)

18.(本題8分)

添加條件例舉:AD=BC;OC=OD;∠C=∠D;∠CAO=∠DBC等.     ……(2分)

證明例舉(以添加條件AD=BC為例):

∵ AB=AB,∠1=∠2,BC=AD,                         …………(2分)

∴ △ABC≌△BAD.                                        …………(2分)

        ∴ AC=BD.                                               …………(2分)

19.(本題8分)

(1);                          …………(3分)

 (2)列對表格或畫對樹狀圖;                 …………(3分)

   兩次都取到歡歡的概率為.                …………(2分)

20.(本題8分)

答案不唯一.只要符合要求,畫對一個給4分,畫對兩個給8分.        ……(8分)

21.(本題8分)

(1)∵AB是⊙O直徑,∴∠ACB=Rt∠.∴sin∠BAC=.     ………(3分)

(2)∵OE⊥AC,O是⊙O的圓心, ∴E是AC中點.∴OE=BC=.      …(3分)

(3)∵AC==4, ∴tan∠ADC= tan∠ABC=.          ……(2分)

22.(本題10分)

(1) 25 ;                                                 ……………(2分)

(2) 50;                              ……………(2分)

   畫對條形統(tǒng)計圖                          ……………(2分)

(3)5人;(列對方程得2分,給出答案給2分)           ……………(4分)

23.(本題12分)

(1);                                                  ………………(2分)

 (2)-x2+2x  ,1, ; (每格2分)                      ……………(6分)

(3)設AB長為m,那么AD為

     S=?=-.                   ……………(2分)

  當時,S最大.                     ……………(2分)

24.(本題14分)

(1)直線AB解析式為:y=x+.                            ……………(3分)

(2)方法一:設點C坐標為(x,x+),那么OD=x,CD=x+.  

.              ………(2分)

由題意:,解得(舍去)     ………(2分)

∴。茫ǎ,)                     ………(1分)

方法二:∵ ,,∴.…(2分)

由OA=OB,得∠BAO=30°,AD=CD.

∴ CD×AD=.可得CD=.  ………(2分)

∴ AD=1,OD=2.∴C(2,).           ………(1分)

(3)當∠OBP=Rt∠時,如圖

      ①若△BOP∽△OBA,則∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=3,

(3,).                                              ……(2分)

      ②若△BPO∽△OBA,則∠BPO=∠BAO=30°,OP=OB=1.

(1,).                       …………(1分)

當∠OPB=Rt∠時

③ 過點P作OP⊥BC于點P(如圖),此時△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°

過點P作PM⊥OA于點M.

方法一: 在Rt△PBO中,BP=OB=,OP=BP=

∵ 在Rt△PMO中,∠OPM=30°,

∴ OM=OP=;PM=OM=.∴,).  ……(1分)

方法二:設P(x ,x+),得OM=x ,PM=x+

由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.

∵tan∠POM=== ,tan∠ABOC==

x+x,解得x=.此時,).     ……(1分)

④若△POB∽△OBA(如圖),則∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.   

    ∴ PM=OM=

∴ ,)(由對稱性也可得到點的坐標).…………(2分)

當∠OPB=Rt∠時,點P在x軸上,不符合要求.

綜合得,符合條件的點有四個,分別是:

(3,),(1,),,),).

注:四個點中,求得一個P點坐標給2分,兩個給3分,三個給4分,四個給6分.


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