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已知:如圖,矩形ABCD中,CD=2,AD=3,以C點(diǎn)為圓心,作一個(gè)動(dòng)圓,與線段AD交于點(diǎn)P(P和A、D不重合),過(guò)P作⊙C的切線交線段AB于F點(diǎn).
(1)求證:△CDP∽△PAF;
(2)設(shè)DP=x,AF=y(tǒng),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,及自變量x的取值范圍;
(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使△APF沿PF翻折后,點(diǎn)A落在BC上,請(qǐng)說(shuō)明理由.(本題12分)
已知:如圖,矩形ABCD中,CD=2,AD=3,以C點(diǎn)為圓心,作一個(gè)動(dòng)圓,與線段AD交于點(diǎn)P(P和A、D不重合),過(guò)P作⊙C的切線交線段AB于F點(diǎn).
(1)求證:△CDP∽△PAF;
(2)設(shè)DP=x,AF=y(tǒng),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,及自變量x的取值范圍;
(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使△APF沿PF翻折后,點(diǎn)A落在BC上,請(qǐng)說(shuō)明理由. (本題12分)
(本題滿分12分)
情境觀察:將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開,得到△ABC和△A′C′D,如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合,并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上,如圖2所示.
觀察圖2可知:與BC相等的線段是 ▲ ,∠CAC′= ▲ °.
問(wèn)題探究:如圖3,△ABC中,AG⊥BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn),分別以AB、AC為直角邊,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
拓展延伸:如圖4,△ABC中,AG⊥BC于點(diǎn)G,分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB=k AE,AC=k AF,試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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