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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分6分，請在下列兩個小題中，任選其一完成即可）
（1）解方程：x2+3x-2=0；
（2）如圖，在邊長為1個單位長度的正方形方格紙中建立直角坐標系，△ABC各頂點的坐標為：A（-5，4）、B（-1，1）、C（-5，1）．
①將△ABC繞著原點O順時針旋轉90°得到△A′B′C′，請在圖中畫出△A′B′C′；
②寫出A′點的坐標．

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加試題（本小題滿分20分，其中（1）、（2）、（3）題各3分，（4）題11分）
（1）一個正數的平方根為3-a和2a+3，則這個正數是
81
81

（2）若x2+2x+y2-6y+10=0，則xy=
-1
-1

（3）已知a，b分別是6-
13
的整數部分和小數部分，則2a-b=
13
13

（4）閱讀下面的問題，并解答問題：
1）如圖1，等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數是多少？（請在下列橫線上填上合適的答案）
分析：由于PA，PB，PC不在同一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A逆時針旋轉到△ACP′處，此時可以利用旋轉的特征等知識得到：
  ①∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C；
  ②AP=AP′，且∠PAP′=
60
60
度，所以△APP′為
等邊
等邊
三角形，則∠AP′P=
60
60
度；
  ③P′C=BP=4，P′P=AP=3，PC=5，所以△PP′C為
直角
直角
三角形，則∠PP′C=
90
90
度，從而得到∠APB=
150
150
度．
 2）請你利用第1）題的解答方法，完成下面問題：
如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為邊BC上的點，且∠EAF=45°，試說明：EF2=BE2+FC2．

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（本小題滿分14分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10.點

E在下底邊BC上，點F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數式表示△BEF的面積；

（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；

（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由.

 

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(本小題滿分12分)

   如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知，，△ABC的面積，拋物線

經過A、B、C三點。

   1.(1)求此拋物線的函數表達式；

   2.(2)設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；

   3.(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

 

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(本小題滿分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．

(1)如圖1，當AB∥CB1時，設A1B1與BC相交于點D．證明：△A1CD是等邊三角形；

(2)如圖2，連接AA1、BB1，設△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．

求證：S1∶S2＝1∶3；

(3)如圖3，設AC的中點為E，A1B1的中點為P，AC＝a，連接EP．當等于多少度時，EP的長度最大，最大值是多少？

 

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