Question

(本小題滿分12分)

   如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知，，△ABC的面積，拋物線

經(jīng)過A、B、C三點。

   1.(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；

   2.(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；

   3.(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.解：（1）∵，設(shè)，則

∴

又，∴

∵

∴，即。

而，∴。

∴,

∴△ABC三個頂點的坐標分別是

,,

∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點，

∴設(shè)，把代入得

∴此拋物線的函數(shù)表達式為

 

2.（2）設(shè)點E的坐標為，

∵點E在Y軸右側(cè)的拋物線上，∴。

有拋物線的對稱性，知點F與點E關(guān)于拋物線的對稱軸x=2對稱，

易得點F的坐標為。

要使矩形EFGH能成為正方形，有,

則

∴  ①

或  ②

由①得，，解得（舍去）

由②得，，解得（舍去）

當時，

此時正方形EFGH的邊長為。

當時，

此時正方形EFGH的邊長為。

∴當矩形EFGH為正方形時，該正方形的邊長為或

3.（3）假設(shè)存在點M，使△MBC中BC邊上的高為。

∴M點應在與直線BC平行，且相距的兩條平行直線和上。

由平行線的性質(zhì)可得：和與y軸的交點到直線BC的距離也為。

如圖，設(shè)與y軸交于P點,過P作PQ與直線BC垂直，垂足為點Q，

∵，

∴∠OBC=∠OCB=45°

在Rt△PQC中，，∠PCQ=∠OCB=45°

∴由勾股定理，得

∴直線與y軸的交點坐標為P(0,9)

同理可求得：與y軸交點坐標為，

易知直線BC的函數(shù)表達式。

∴直線和的函數(shù)表達式分別為。

根據(jù)題意，列出方程組：①，②

由①得，，解得；

由②得，

∵△=-31<0

∴此方程無實數(shù)根。

∴在拋物線上存在點M，使△MBC中BC邊上的高為，其坐標分別為：

另解：易求直線BC的表達式為：

整理得

設(shè)

由點到直線的距離得

解得

∴或（無實數(shù)根）

∴或

代入得。

 

解析:略