已知一拋物線經(jīng)過O（0，0），B（1，1）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為-（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知點A（0，1），若拋物線與射線AB相交于點M，與x軸相交于點N（異于原點），當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON+BM的值為常數(shù)？當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON-BM的值為常數(shù)？
（Ⅲ）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P為拋物線的不動點．將這條拋物線進(jìn)行平移，使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線y=x-上，請說明理由．

如圖，已知拋物線y=（a+2）x²+4ax+a²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點，交x軸的正半軸于點D．
（1）求a的值；
（2）設(shè)拋物線的頂點為M，利用尺規(guī)，在拋物線的對稱軸上，作點N，使得△OMN為等腰三角形．若不止一個，則分別記作N₁、N₂、N₃、…；
（3）若點P為拋物線對稱軸右側(cè)部分上的一點，過點P作PA⊥x軸于點A，PB∥x軸交拋物線左側(cè)部分于點B，過點B作BC⊥x軸于點C，問：是否存在這樣的點P，使得矩形PACB恰好為正方形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

已知一拋物線經(jīng)過O（0，0），B（1，1）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為-（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知點A（0，1），若拋物線與射線AB相交于點M，與x軸相交于點N（異于原點），當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON+BM的值為常數(shù)？當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON-BM的值為常數(shù)？
（Ⅲ）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P為拋物線的不動點．將這條拋物線進(jìn)行平移，使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線y=x-上，請說明理由．