Question

如圖，已知拋物線y=（a+2）x²+4ax+a²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，交x軸的正半軸于點(diǎn)D．
（1）求a的值；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，利用尺規(guī)，在拋物線的對稱軸上，作點(diǎn)N，使得△OMN為等腰三角形．若不止一個，則分別記作N₁、N₂、N₃、…；
（3）若點(diǎn)P為拋物線對稱軸右側(cè)部分上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB∥x軸交拋物線左側(cè)部分于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得矩形PACB恰好為正方形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=（a+2）x²+4ax+a²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴把（0，0）代入y=（a+2）x²+4ax+a²-1，
解得a=±1，
∵拋物線的對稱軸x大于0，經(jīng)檢驗，a=1不合題意，舍去；a=-1符合題意，
∴a=-1；

（2）∵y=x²-4x=（x-2）²-4
∴M（2，-4），
∴OM=2，
符合題意的點(diǎn)N共有4個，N₁等腰三角形N₁OM的頂點(diǎn)，（2，-1.5），
N₂是等腰三角形N₂OM底邊上的點(diǎn)，（2，4）；
N₃是等腰三角形OMN₃底邊上的點(diǎn)，（2，-4-2）；
N₄是等腰三角形OMN₄底邊上的點(diǎn)，（2，2-4）．
如圖：


（3）設(shè)P（x，y）．
①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，如圖1，
由題意矩形PACB恰好為正方形，則PB=PA，
PA=x²-4x，PB=2（x-2），得 x²-4x=2（x-2），
解得x=3+，x=3-（舍去）．
∴P（3+，2+2）；
②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限，如圖2：
由題意矩形PACB恰好為正方形，則PB=PA，
得4x-x²=2（x-2），
解得x=1+，x=1- （舍去），
∴P（1+，2-2），
∴存在P₁（3+，2+2）、P₂（1+，2-2），使得矩形PACB恰好為正方形．

分析：（1）拋物線y=（a+2）x²+4ax+a²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，把坐標(biāo)（0，0）代入拋物線解析式，求出a的值即可；
（2）在拋物線的對稱軸上作出所有使得△OMN為等腰三角形的N點(diǎn)即可；
（3）假如存在，設(shè)點(diǎn)P（x，y），分別討論點(diǎn)P在第一象限和第四象限時，矩形PACB恰好為正方形得PA=PB，得到關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)、正方形性質(zhì)等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，會求二次函數(shù)的對稱軸、熟練掌握正方形的性質(zhì)，此題難度一般．