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如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30。，斜邊AC上的中線BD=2，現(xiàn)沿BD將△BCD折起成三棱錐C-ABD，已知G是線段BD的中點，E，F(xiàn)分別是CG，AG的中點．

（1）求證：EF／／平面ABC；
（2）三棱錐C—ABD中，若棱AC=，求三棱錐A一BCD的體積．

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如圖，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P為AB邊上一動點，PD∥BC交AC于點D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD，
（1）當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時，求PA的長；
（2）若點P為AB的中點，E為A′C的中點，求證：A′B⊥DE。

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（選做題）
如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F。
（1）求的值；
（2）若△BEF的面積為S₁，四邊形CDEF的面積為 S₂，求S₁：S₂的值。       

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一、選擇題:    BBDBA  BBBCB  AC

二、填空題:    13.6     14.    15.1     16. ②③

三．解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17． 解：（1）∵   , 且與向量所成角為

∴   ，   ∴  ，          

又，∴  ，即。  

   （2）由（1）可得：

∴  

∵  ，    

∴  ，

∴  ， 

∴  當(dāng)=1時，A=     

∴AB=2，               則                     

18．解：（1）P=           

   （2）隨機變量的取值為0, 1, 2, 3.

由n次獨立重復(fù)試驗概率公式得

隨機變量的分布列是

0

1

2

3

的數(shù)學(xué)期望是        

19．證明(Ⅰ)                 　　

　    AB∥DC，DC平面PAD．

       DCPD  DCAD，　　

       PDA為二面角P－CD－B的平面角．　

       故PDA＝45°  PA＝AD＝3， 

       APD＝45°． PAAD．

　    又PAAB ，PA平面ABCD．　　　

   （Ⅱ）證法一：延長DA，CE交于點N，連結(jié)PN,　

由折疊知又．

，

又由（１）知，

為二面角的平面角．………9分

在直角三角形中，

，．

即平面PEC和平面PAD所成銳二面角為30°．

證法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ，

則

     ，

設(shè)為平面的法向量，則

，可設(shè)，又平面的法向量，

． ．

20．解：（I）依題意得

   （II）依題意得，上恰有兩個相異實根，

       令

       故在[0，1]上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

21．解：（1）直線方程為與聯(lián)立得

   （2）設(shè)弦AB的中點M的坐標(biāo)為依題意有

      所以弦AB的中點M的軌跡是以為中心，

焦點在軸上，長軸長為1，短軸長為的橢圓。                                    

   （3）設(shè)直線AB的方程為

       代入整理得

       直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。

       記中點  

則

       的垂直平分線NG的方程為         

令得

     點G橫坐標(biāo)的取值范圍為          

22．解：（I）把

   （II），  ①

      ②

    ①式減②式得，，    變形得， 

    又因為時上式也成立。

所以，數(shù)列為公比的等比數(shù)列，

所以

   （III），

 所以