求證:“若直線過(guò)點(diǎn)T(3.0).則＝3 是真命題. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知定點(diǎn)F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），動(dòng)點(diǎn)R在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|RF1|+|RF2|的值不變，曲線C過(guò)點(diǎn)T（0，1），
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）M是曲線C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率分別為k1和k2的直線MA，MB交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k1•k2的值；
（Ⅲ）直線l過(guò)點(diǎn)F2，且與曲線C交于PQ，有如下命題p：“當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，△F1PQ的面積取得最大值”．判斷命題p的真假．若是真命題，請(qǐng)給予證明；若是假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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精英家教網(wǎng)本題有（1），（2），（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑．
（1）選修4-2：矩陣與變換
如圖所示：△OAB在伸縮變換M作用下變?yōu)椤鱋A1B1．
（i）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（ii）求逆矩陣M-1以及（M-1）20
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．
已知曲線C1的參數(shù)方程為
x=2sinθ
y=cosθ
（θ為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為
x=2t
y=t+1
（t為參數(shù)）
（i）若將曲線C1與C2上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半，分別得到曲線C1和C2，求出曲線C1和C2的普通方程；
（ii）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)極點(diǎn)且與C2垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a2+
b 2
4
+
c 2
9
+m-1=0
（i）求證：a2+
b 2
4
+
c 2
9
≥
(a+b+c) 2
14

（ii）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總滿足關(guān)系式
(x-
5
)2+y2
+
(x+
5
)2+y2
=6．
（1）點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？請(qǐng)寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知定點(diǎn)T（t，0）（0＜t＜3），若|MT|的最小值為1，求t的值；
（3）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AB的中點(diǎn)，直線OG與該軌跡相交于C，D兩點(diǎn)，若直線AB，CD，AC，AD，DB，BC的斜率分別為k1，k2，k3，k4，k5，k6，求證：k1•k2=k3•k4=k5•k6．

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已知橢圓C：，直線恒過(guò)的定點(diǎn)F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為3,

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線MN為垂直于x軸的動(dòng)弦，且M、N均在橢圓C上，定點(diǎn)T（4,0）,直線MF與直線NT交于點(diǎn)S

①求證：點(diǎn)S恒在橢圓C上；

②求△MST面積的最大值。

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已知橢圓C：，直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒過(guò)的定點(diǎn)F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為3，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN為垂直于x軸的動(dòng)弦，且M、N均在橢圓C上，定點(diǎn)T（4，0），直線MF與直線NT交于點(diǎn)S．求證：
①點(diǎn)S恒在橢圓C上；
②求△MST面積的最大值．

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一、選擇題：

CADCB  AABBD  CD

二、填空題

（13）;  （14）8;   （15）;  （16）3.

三、解答題

（17）解：將圓C的方程配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則此圓的圓心為（0 , 4），半徑為2.

(Ⅰ) 若直線與圓C相切，則有. 解得.  ………………6分

(Ⅱ) 解：過(guò)圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，得

 解得.

∴直線的方程是和.  ………………12分

（18）解:(Ⅰ)由題意知此平面區(qū)域表示的是以構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,且△是直角三角形, 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是,

所以圓的方程是.    ………………6分

 (Ⅱ)設(shè)直線的方程是:.

  因?yàn)?sub>,所以圓心到直線的距離是, 即.

解得:.                          ………………………………11分

所以直線的方程是. ………………12分

（19）解：設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線于點(diǎn)A、B .

（Ⅰ）當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為,

此時(shí), 直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)（）.B(3,－)，∴=3.   …….............4分

（Ⅱ）當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，

其中，由得 .     …………………….….6分

又 ∵ ， ∴，

                                                    ………………………………….10分

綜上所述，命題“若直線過(guò)點(diǎn)T(3,0)，則=3” 是真命題.  ………………….12分

（20）解：（Ⅰ）由知是的中點(diǎn)，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

由.

，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.               …………………………4分

  又點(diǎn)在直線上，  .

，       ………………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)關(guān)于直線上的對(duì)稱點(diǎn)為，

則有.         ………………10分

由已知.

，∴所求的橢圓的方程為 .     ………………12分

（21）解：（Ⅰ）由已知條件，直線的方程為，

代入橢圓方程得．

整理得　　�、�    ……………………………………3分

直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，

解得或．即的取值范圍為．………………6分

 

（Ⅱ）設(shè)，則，

由方程①，．　　�、�

又．　�、�      …………………………………9分

而．

所以與共線等價(jià)于，

將②③代入上式，解得．

由（Ⅰ）知或，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)．………………12分

 

 

（22）解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，由得：

，化簡(jiǎn)得．……4分

（Ⅱ）（1）設(shè)直線的方程為：

．

設(shè)，，又

聯(lián)立方程組，消去得：，，

              ……………………………………………7分

由，得：

，，整理得：，，

．……10分

（2）解：

．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為．   ……14分

 

 

 


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