第六部分 振動(dòng)和波

第一講 基本知識(shí)介紹

《振動(dòng)和波》的競(jìng)賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對(duì)詳細(xì)的補(bǔ)充。

一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義：= －k             ①

凡是所受合力和位移滿(mǎn)足①式的質(zhì)點(diǎn)，均可稱(chēng)之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。

諧振子的加速度：= －

2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程

回避高等數(shù)學(xué)工具，我們可以將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某一條直線上的投影運(yùn)動(dòng)（以下均看在x方向的投影），圓周運(yùn)動(dòng)的半徑即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A 。

依據(jù)：_x = －mω²Acosθ= －mω²

對(duì)于一個(gè)給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，m、ω是恒定不變的，可以令：

mω² = k 

這樣，以上兩式就符合了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出——

位移方程： = Acos(ωt + φ)                                        ②

速度方程： = －ωAsin(ωt +φ)                                     ③

加速度方程：= －ω²A cos(ωt +φ)                                   ④

相關(guān)名詞：(ωt +φ)稱(chēng)相位，φ稱(chēng)初相。

運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的相互關(guān)系：= －ω²

A = 

tgφ= －

3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

a、同方向、同頻率振動(dòng)合成。兩個(gè)振動(dòng)x₁ = A₁cos(ωt +φ₁)和x₂ = A₂cos(ωt +φ₂) 合成，可令合振動(dòng)x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x₁ + x₂ ，解得

A =  ，φ= arctg 

顯然，當(dāng)φ₂－φ₁ = 2kπ時(shí)（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，當(dāng)φ₂－φ₁ = （2k + 1）π時(shí)（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。

b、方向垂直、同頻率振動(dòng)合成。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的振動(dòng)x = A₁cos(ωt + φ₁)和y = A₂cos(ωt + φ₂)時(shí)，這兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為

+－2cos(φ₂－φ₁) = sin²(φ₂－φ₁)

顯然，當(dāng)φ₂－φ₁ = 2kπ時(shí)（k = 0，±1，±2，…），有y = x ，軌跡為直線，合運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)φ₂－φ₁ = （2k + 1）π時(shí)（k = 0，±1，±2，…），有+= 1 ，軌跡為橢圓，合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)φ₂－φ₁取其它值，軌跡將更為復(fù)雜，稱(chēng)“李薩如圖形”，不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

c、同方向、同振幅、頻率相近的振動(dòng)合成。令x₁ = Acos(ω₁t + φ)和x₂ = Acos(ω₂t + φ) ，由于合運(yùn)動(dòng)x = x₁ + x₂ ，得：x =（2Acost）cos（t +φ）。合運(yùn)動(dòng)是振動(dòng)，但不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為角頻率為的“拍”現(xiàn)象。

4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期

由②式得：ω=  ，而圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率是一致的，所以

T = 2π                                                      ⑤

5、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量

一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振子的能量由動(dòng)能和勢(shì)能構(gòu)成，即

= mv² + kx² = kA²

注意：振子的勢(shì)能是由（回復(fù)力系數(shù)）k和（相對(duì)平衡位置位移）x決定的一個(gè)抽象的概念，而不是具體地指重力勢(shì)能或彈性勢(shì)能。當(dāng)我們計(jì)量了振子的抽象勢(shì)能后，其它的具體勢(shì)能不能再做重復(fù)計(jì)量。

6、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振

和高考要求基本相同。

二、機(jī)械波

1、波的產(chǎn)生和傳播

產(chǎn)生的過(guò)程和條件；傳播的性質(zhì)，相關(guān)參量（決定參量的物理因素）

2、機(jī)械波的描述

a、波動(dòng)圖象。和振動(dòng)圖象的聯(lián)系

b、波動(dòng)方程

如果一列簡(jiǎn)諧波沿x方向傳播，振源的振動(dòng)方程為y = Acos（ωt + φ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是

y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕

這個(gè)方程展示的是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。對(duì)任意一個(gè)時(shí)刻t ，都有一個(gè)y（x）的正弦函數(shù)，在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個(gè)瞬時(shí)波形。所以，稱(chēng)y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕為波動(dòng)方程。

3、波的干涉

a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時(shí)，能獨(dú)立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。

b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時(shí)，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動(dòng)加強(qiáng)的區(qū)域和振動(dòng)削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開(kāi)。

我們可以用波程差的方法來(lái)討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示，我們用S₁和S₂表示兩個(gè)波源，P表示空間任意一點(diǎn)。

當(dāng)振源的振動(dòng)方向相同時(shí)，令振源S₁的振動(dòng)方程為y₁ = A₁cosωt ，振源S₁的振動(dòng)方程為y₂ = A₂cosωt ，則在空間P點(diǎn)（距S₁為r₁ ，距S₂為r₂），兩振源引起的分振動(dòng)分別是

y₁′= A₁cos〔ω（t ? ）〕

y₂′= A₂cos〔ω（t ? ）〕

P點(diǎn)便出現(xiàn)兩個(gè)頻率相同、初相不同的振動(dòng)疊加問(wèn)題（φ₁ =  ，φ₂ = ），且初相差Δφ= （r₂ – r₁）。根據(jù)前面已經(jīng)做過(guò)的討論，有

r₂ ? r₁ = kλ時(shí)（k = 0，±1，±2，…），P點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng)，振幅為A₁ + A₂ ；

r₂ ? r₁ =（2k ? 1）時(shí)（k = 0，±1，±2，…），P點(diǎn)振動(dòng)削弱，振幅為│A₁－A₂│。

4、波的反射、折射和衍射

知識(shí)點(diǎn)和高考要求相同。

5、多普勒效應(yīng)

當(dāng)波源或者接受者相對(duì)與波的傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收者會(huì)發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發(fā)波頻率f和波相對(duì)介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的）——

a、只有接收者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)（如圖3所示）

設(shè)接收者以速度v₁正對(duì)靜止的波源運(yùn)動(dòng)。

如果接收者靜止在A點(diǎn)，他單位時(shí)間接收的波的個(gè)數(shù)為f ，

當(dāng)他迎著波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)其在單位時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)，則= v₁ ，、

在從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，接收者事實(shí)上“提前”多接收到了n個(gè)波

n = = = 

顯然，在單位時(shí)間內(nèi)，接收者接收到的總的波的數(shù)目為：f + n = f ，這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f₁ 。即

f₁ = f 

顯然，如果v₁背離波源運(yùn)動(dòng)，只要將上式中的v₁代入負(fù)值即可。如果v₁的方向不是正對(duì)S ，只要將v₁出正對(duì)的分量即可。

b、只有波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)（如圖4所示）

設(shè)波源以速度v₂正對(duì)靜止的接收者運(yùn)動(dòng)。

如果波源S不動(dòng)，在單位時(shí)間內(nèi)，接收者在A點(diǎn)應(yīng)接收f(shuō)個(gè)波，故S到A的距離：= fλ 

在單位時(shí)間內(nèi)，S運(yùn)動(dòng)至S′，即= v₂ 。由于波源的運(yùn)動(dòng)，事實(shí)造成了S到A的f個(gè)波被壓縮在了S′到A的空間里，波長(zhǎng)將變短，新的波長(zhǎng)

λ′= = = = 

而每個(gè)波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變?yōu)?/p>

f₂ = = f 

當(dāng)v₂背離接收者，或有一定夾角的討論，類(lèi)似a情形。

c、當(dāng)接收者和波源均相對(duì)傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)

當(dāng)接收者正對(duì)波源以速度v₁（相對(duì)介質(zhì)速度）運(yùn)動(dòng)，波源也正對(duì)接收者以速度v₂（相對(duì)介質(zhì)速度）運(yùn)動(dòng)，我們的討論可以在b情形的過(guò)程上延續(xù)…

f₃ =  f₂ = f 

關(guān)于速度方向改變的問(wèn)題，討論類(lèi)似a情形。

6、聲波

a、樂(lè)音和噪音

b、聲音的三要素：音調(diào)、響度和音品

c、聲音的共鳴

第二講 重要模型與專(zhuān)題

一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明與周期計(jì)算

物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)均勻、兩邊開(kāi)口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長(zhǎng)為L(zhǎng) 。當(dāng)水銀受到一個(gè)初始的擾動(dòng)后，開(kāi)始在管中振動(dòng)。忽略管壁對(duì)汞的阻力，試證明汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期。

模型分析：對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明，只要以汞柱為對(duì)象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿(mǎn)足定義式①，值得注意的是，回復(fù)力系指振動(dòng)方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。

本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ，則次瞬時(shí)的回復(fù)力

ΣF = ρg2xS = x

由于L、m為固定值，可令： = k ，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

周期T = 2π= 2π

答：汞柱的周期為2π 。

學(xué)生活動(dòng)：如圖6所示，兩個(gè)相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動(dòng)，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L(zhǎng) 、滾輪與木板之間的動(dòng)摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ，且木板放置時(shí)，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求木板運(yùn)動(dòng)的周期。

思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→ú力矩平衡和Σ?F₆= 0結(jié)合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…

答案：木板運(yùn)動(dòng)周期為2π 。

鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng) = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿AB是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)�，F(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，而框架卻靜止不動(dòng)，試討論松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)。

解說(shuō)：由于框架靜止不動(dòng)，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ，即：

N = mg                            ①

再回到框架，其靜止平衡必滿(mǎn)足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：

M_N = M_f

現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個(gè)一般位置（如圖7，設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x），上式即成：

N·x = f·Lsin60°                 ②

解①②兩式可得：f = x ，且f的方向水平向左。

根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn)，x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿(mǎn)足關(guān)系——

= －k

其中k =  ，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)而言，k是固定不變的。

顯然這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式。

答案：松鼠做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

評(píng)說(shuō)：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問(wèn)法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為：T = 2π = 2π = 2.64s 。

二、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1、彈簧振子

物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，置于傾角為θ

第九部分 穩(wěn)恒電流

第一講 基本知識(shí)介紹

第八部分《穩(wěn)恒電流》包括兩大塊：一是“恒定電流”，二是“物質(zhì)的導(dǎo)電性”。前者是對(duì)于電路的外部計(jì)算，后者則是深入微觀空間，去解釋電流的成因和比較不同種類(lèi)的物質(zhì)導(dǎo)電的情形有什么區(qū)別。

應(yīng)該說(shuō)，第一塊的知識(shí)和高考考綱對(duì)應(yīng)得比較好，深化的部分是對(duì)復(fù)雜電路的計(jì)算（引入了一些新的處理手段）。第二塊雖是全新的內(nèi)容，但近幾年的考試已經(jīng)很少涉及，以至于很多奧賽培訓(xùn)資料都把它刪掉了。鑒于在奧賽考綱中這部分內(nèi)容還保留著，我們還是想粗略地介紹一下。

一、歐姆定律

1、電阻定律

a、電阻定律 R = ρ

b、金屬的電阻率 ρ = ρ₀（1 + αt）

2、歐姆定律

a、外電路歐姆定律 U = IR ，順著電流方向電勢(shì)降落

b、含源電路歐姆定律

在如圖8-1所示的含源電路中，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，遵照原則：①遇電阻，順電流方向電勢(shì)降落（逆電流方向電勢(shì)升高）②遇電源，正極到負(fù)極電勢(shì)降落，負(fù)極到正極電勢(shì)升高（與電流方向無(wú)關(guān)），可以得到以下關(guān)系

U_A ? IR ? ε ? Ir = U_B 

這就是含源電路歐姆定律。

c、閉合電路歐姆定律

在圖8-1中，若將A、B兩點(diǎn)短接，則電流方向只可能向左，含源電路歐姆定律成為

U_A + IR ? ε + Ir = U_B = U_A

即 ε = IR + Ir ，或 I = 

這就是閉合電路歐姆定律。值得注意的的是：①對(duì)于復(fù)雜電路，“干路電流I”不能做絕對(duì)的理解（任何要考察的一條路均可視為干路）；②電源的概念也是相對(duì)的，它可以是多個(gè)電源的串、并聯(lián)，也可以是電源和電阻組成的系統(tǒng)；③外電阻R可以是多個(gè)電阻的串、并聯(lián)或混聯(lián)，但不能包含電源。

二、復(fù)雜電路的計(jì)算

1、戴維南定理：一個(gè)由獨(dú)立源、線性電阻、線性受控源組成的二端網(wǎng)絡(luò)，可以用一個(gè)電壓源和電阻串聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)來(lái)等效。（事實(shí)上，也可等效為“電流源和電阻并聯(lián)的的二端網(wǎng)絡(luò)”——這就成了諾頓定理。）

應(yīng)用方法：其等效電路的電壓源的電動(dòng)勢(shì)等于網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓，其串聯(lián)電阻等于從端鈕看進(jìn)去該網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源為零值時(shí)的等效電阻。

2、基爾霍夫（克�？品颍┒�律

a、基爾霍夫第一定律：在任一時(shí)刻流入電路中某一分節(jié)點(diǎn)的電流強(qiáng)度的總和，等于從該點(diǎn)流出的電流強(qiáng)度的總和。

例如，在圖8-2中，針對(duì)節(jié)點(diǎn)P ，有

I₂ + I₃ = I₁ 

基爾霍夫第一定律也被稱(chēng)為“節(jié)點(diǎn)電流定律”，它是電荷受恒定律在電路中的具體體現(xiàn)。

對(duì)于基爾霍夫第一定律的理解，近來(lái)已經(jīng)拓展為：流入電路中某一“包容塊”的電流強(qiáng)度的總和，等于從該“包容塊”流出的電流強(qiáng)度的總和。

b、基爾霍夫第二定律：在電路中任取一閉合回路，并規(guī)定正的繞行方向，其中電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，等于各部分電阻（在交流電路中為阻抗）與電流強(qiáng)度乘積的代數(shù)和。

例如，在圖8-2中，針對(duì)閉合回路① ，有

ε₃ ? ε₂ = I₃ ( r₃ + R₂ + r₂ ) ? I₂R₂ 

基爾霍夫第二定律事實(shí)上是含源部分電路歐姆定律的變體（☆同學(xué)們可以列方程 U_P = … = U_P得到和上面完全相同的式子）。

3、Y?Δ變換

在難以看清串、并聯(lián)關(guān)系的電路中，進(jìn)行“Y型?Δ型”的相互轉(zhuǎn)換常常是必要的。在圖8-3所示的電路中

☆同學(xué)們可以證明Δ→ Y的結(jié)論…

R_c = 

R_b = 

R_a = 

Y→Δ的變換稍稍復(fù)雜一些，但我們?nèi)匀豢梢缘玫?/p>

R₁ = 

R₂ = 

R₃ = 

三、電功和電功率

1、電源

使其他形式的能量轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿难b置。如發(fā)電機(jī)、電池等。發(fā)電機(jī)是將機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔埽桓呻姵�、蓄電池是將化學(xué)能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔埽还怆姵厥菍⒐饽苻D(zhuǎn)變?yōu)殡娔�；原子電池是將原子核放射能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔�；在電子設(shè)備中，有時(shí)也把變換電能形式的裝置，如整流器等，作為電源看待。

電源電動(dòng)勢(shì)定義為電源的開(kāi)路電壓，內(nèi)阻則定義為沒(méi)有電動(dòng)勢(shì)時(shí)電路通過(guò)電源所遇到的電阻。據(jù)此不難推出相同電源串聯(lián)、并聯(lián)，甚至不同電源串聯(lián)、并聯(lián)的時(shí)的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的值。

例如，電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)阻分別為ε₁ 、r₁和ε₂ 、r₂的電源并聯(lián)，構(gòu)成的新電源的電動(dòng)勢(shì)ε和內(nèi)阻r分別為（☆師生共同推導(dǎo)…）

ε = 

r = 

2、電功、電功率

電流通過(guò)電路時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)電荷作的功叫做電功W。單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力所作的功叫做電功率P 。

計(jì)算時(shí)，只有W = UIt和P = UI是完全沒(méi)有條件的，對(duì)于不含源的純電阻，電功和焦耳熱重合，電功率則和熱功率重合，有W = I²Rt = t和P = I²R = 。

對(duì)非純電阻電路，電功和電熱的關(guān)系依據(jù)能量守恒定律求解。 

四、物質(zhì)的導(dǎo)電性

在不同的物質(zhì)中，電荷定向移動(dòng)形成電流的規(guī)律并不是完全相同的。

1、金屬中的電流

即通常所謂的不含源純電阻中的電流，規(guī)律遵從“外電路歐姆定律”。

2、液體導(dǎo)電

能夠?qū)щ姷囊后w叫電解液（不包括液態(tài)金屬）。電解液中離解出的正負(fù)離子導(dǎo)電是液體導(dǎo)電的特點(diǎn)（如：硫酸銅分子在通常情況下是電中性的，但它在溶液里受水分子的作用就會(huì)離解成銅離子Cu²⁺和硫酸根離子S，它們?cè)陔妶?chǎng)力的作用下定向移動(dòng)形成電流）。

在電解液中加電場(chǎng)時(shí)，在兩個(gè)電極上（或電極旁）同時(shí)產(chǎn)生化學(xué)反應(yīng)的過(guò)程叫作“電解”。電解的結(jié)果是在兩個(gè)極板上（或電極旁）生成新的物質(zhì)。

液體導(dǎo)電遵從法拉第電解定律——

法拉第電解第一定律：電解時(shí)在電極上析出或溶解的物質(zhì)的質(zhì)量和電流強(qiáng)度、跟通電時(shí)間成正比。表達(dá)式：m = kIt ＝ KQ （式中Q為析出質(zhì)量為m的物質(zhì)所需要的電量；K為電化當(dāng)量，電化當(dāng)量的數(shù)值隨著被析出的物質(zhì)種類(lèi)而不同，某種物質(zhì)的電化當(dāng)量在數(shù)值上等于通過(guò)1C電量時(shí)析出的該種物質(zhì)的質(zhì)量，其單位為kg/C。）

法拉第電解第二定律：物質(zhì)的電化當(dāng)量K和它的化學(xué)當(dāng)量成正比。某種物質(zhì)的化學(xué)當(dāng)量是該物質(zhì)的摩爾質(zhì)量M（克原子量）和它的化合價(jià)n的比值，即 K =  ，而F為法拉第常數(shù)，對(duì)任何物質(zhì)都相同，F(xiàn) = 9.65×10⁴C/mol 。

將兩個(gè)定律聯(lián)立可得：m = Q 。

3、氣體導(dǎo)電

氣體導(dǎo)電是很不容易的，它的前提是氣體中必須出現(xiàn)可以定向移動(dòng)的離子或電子。按照“載流子”出現(xiàn)方式的不同，可以把氣體放電分為兩大類(lèi)——

a、被激放電

在地面放射性元素的輻照以及紫外線和宇宙射線等的作用下，會(huì)有少量氣體分子或原子被電離，或在有些燈管內(nèi)，通電的燈絲也會(huì)發(fā)射電子，這些“載流子”均會(huì)在電場(chǎng)力作用下產(chǎn)生定向移動(dòng)形成電流。這種情況下的電流一般比較微弱，且遵從歐姆定律。典型的被激放電情形有

b、自激放電

但是，當(dāng)電場(chǎng)足夠強(qiáng)，電子動(dòng)能足夠大，它們和中性氣體相碰撞時(shí)，可以使中性分子電離，即所謂碰撞電離。同時(shí)，在正離子向陰極運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于以很大的速度撞到陰極上，還可能從陰極表面上打出電子來(lái)，這種現(xiàn)象稱(chēng)為二次電子發(fā)射。碰撞電離和二次電子發(fā)射使氣體中在很短的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)了大量的電子和正離子，電流亦迅速增大。這種現(xiàn)象被稱(chēng)為自激放電。自激放電不遵從歐姆定律。

常見(jiàn)的自激放電有四大類(lèi)：輝光放電、弧光放電、火花放電、電暈放電。

4、超導(dǎo)現(xiàn)象

據(jù)金屬電阻率和溫度的關(guān)系，電阻率會(huì)隨著溫度的降低和降低。當(dāng)電阻率降為零時(shí)，稱(chēng)為超導(dǎo)現(xiàn)象。電阻率為零時(shí)對(duì)應(yīng)的溫度稱(chēng)為臨界溫度。超導(dǎo)現(xiàn)象首先是荷蘭物理學(xué)家昂尼斯發(fā)現(xiàn)的。

超導(dǎo)的應(yīng)用前景是顯而易見(jiàn)且相當(dāng)廣闊的。但由于一般金屬的臨界溫度一般都非常低，故產(chǎn)業(yè)化的價(jià)值不大，為了解決這個(gè)矛盾，科學(xué)家們致力于尋找或合成臨界溫度比較切合實(shí)際的材料就成了當(dāng)今前沿科技的一個(gè)熱門(mén)領(lǐng)域。當(dāng)前人們的研究主要是集中在合成材料方面，臨界溫度已經(jīng)超過(guò)100K，當(dāng)然，這個(gè)溫度距產(chǎn)業(yè)化的期望值還很遠(yuǎn)。

5、半導(dǎo)體

半導(dǎo)體的電阻率界于導(dǎo)體和絕緣體之間，且ρ

第二部分  牛頓運(yùn)動(dòng)定律

第一講 牛頓三定律

一、牛頓第一定律

1、定律。慣性的量度

2、觀念意義，突破“初態(tài)困惑”

二、牛頓第二定律

1、定律

2、理解要點(diǎn)

a、矢量性

b、獨(dú)立作用性：ΣF → a ，ΣF_x → a_x …

c、瞬時(shí)性。合力可突變，故加速度可突變（與之對(duì)比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測(cè)量手段”）。

3、適用條件

a、宏觀、低速

b、慣性系

對(duì)于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析

三、牛頓第三定律

1、定律

2、理解要點(diǎn)

a、同性質(zhì)（但不同物體）

b、等時(shí)效（同增同減）

c、無(wú)條件（與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、空間選擇無(wú)關(guān)）

第二講 牛頓定律的應(yīng)用

一、牛頓第一、第二定律的應(yīng)用

單獨(dú)應(yīng)用牛頓第一定律的物理問(wèn)題比較少，一般是需要用其解決物理問(wèn)題中的某一個(gè)環(huán)節(jié)。

應(yīng)用要點(diǎn)：合力為零時(shí)，物體靠慣性維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；只有物體有加速度時(shí)才需要合力。有質(zhì)量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。

1、如圖1所示，在馬達(dá)的驅(qū)動(dòng)下，皮帶運(yùn)輸機(jī)上方的皮帶以恒定的速度向右運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將一工件（大小不計(jì)）在皮帶左端A點(diǎn)輕輕放下，則在此后的過(guò)程中（      ）

A、一段時(shí)間內(nèi)，工件將在滑動(dòng)摩擦力作用下，對(duì)地做加速運(yùn)動(dòng)

B、當(dāng)工件的速度等于v時(shí)，它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力

C、當(dāng)工件相對(duì)皮帶靜止時(shí)，它位于皮帶上A點(diǎn)右側(cè)的某一點(diǎn)

D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對(duì)靜止的狀態(tài)

解說(shuō)：B選項(xiàng)需要用到牛頓第一定律，A、C、D選項(xiàng)用到牛頓第二定律。

較難突破的是A選項(xiàng)，在為什么不會(huì)“立即跟上皮帶”的問(wèn)題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣF_x → ∞ ，必然會(huì)出現(xiàn)“供不應(yīng)求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)？因?yàn)槿耸强梢孕巫�、重心可以調(diào)節(jié)的特殊“物體”）

此外，本題的D選項(xiàng)還要用到勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律。用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律和牛頓第二定律不難得出

只有當(dāng)L ＞ 時(shí)（其中μ為工件與皮帶之間的動(dòng)摩擦因素），才有相對(duì)靜止的過(guò)程，否則沒(méi)有。

答案：A、D

思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= 0.2 ，g取10 m/s² ，試求工件到達(dá)皮帶右端的時(shí)間t（過(guò)程略，答案為5.5s）

進(jìn)階練習(xí)：在上面“思考”題中，將工件給予一水平向右的初速v₀ ，其它條件不變，再求t（學(xué)生分以下三組進(jìn)行）——

① v₀ = 1m/s  (答：0.5 + 37/8 = 5.13s)

② v₀ = 4m/s  (答：1.0 + 3.5 = 4.5s)

③ v₀ = 1m/s  (答：1.55s)

2、質(zhì)量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。試問(wèn)：

① 如果在P處剪斷細(xì)繩，在剪斷瞬時(shí)，B的加速度是多少？

② 如果在Q處剪斷彈簧，在剪斷瞬時(shí)，B的加速度又是多少？

解說(shuō)：第①問(wèn)是常規(guī)處理。由于“彈簧不會(huì)立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時(shí)B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。

第②問(wèn)需要我們反省這樣一個(gè)問(wèn)題：“彈簧不會(huì)立即發(fā)生形變”的原因是什么？是A、B兩物的慣性，且速度v和位移s不能突變。但在Q點(diǎn)剪斷彈簧時(shí)，彈簧卻是沒(méi)有慣性的（沒(méi)有質(zhì)量），遵從理想模型的條件，彈簧應(yīng)在一瞬間恢復(fù)原長(zhǎng)！即彈簧彈力突變?yōu)榱恪?/p>

答案：0 ；g 。

二、牛頓第二定律的應(yīng)用

應(yīng)用要點(diǎn)：受力較少時(shí)，直接應(yīng)用牛頓第二定律的“矢量性”解題。受力比較多時(shí)，結(jié)合正交分解與“獨(dú)立作用性”解題。

在難度方面，“瞬時(shí)性”問(wèn)題相對(duì)較大。

1、滑塊在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下滑，試求其加速度。

解說(shuō)：受力分析 → 根據(jù)“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應(yīng)用

答案：gsinθ。

思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，傾角仍為θ，要求滑塊與斜面相對(duì)靜止，斜面應(yīng)具備一個(gè)多大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對(duì)象仍為滑塊。但在第二環(huán)節(jié)上應(yīng)注意區(qū)別。答：gtgθ。）

進(jìn)階練習(xí)1：在一向右運(yùn)動(dòng)的車(chē)廂中，用細(xì)繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車(chē)廂的加速度。（和“思考”題同理，答：gtgθ。）

進(jìn)階練習(xí)2、如圖4所示，小車(chē)在傾角為α的斜面上勻加速運(yùn)動(dòng)，車(chē)廂頂用細(xì)繩懸掛一小球，發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個(gè)穩(wěn)定的夾角β。試求小車(chē)的加速度。

解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用，但數(shù)學(xué)處理復(fù)雜了一些（正弦定理解三角形）。

分析小球受力后，根據(jù)“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應(yīng)的夾角。設(shè)張力T與斜面方向的夾角為θ，則

θ=（90°+ α）- β= 90°-（β-α）                 （1）

對(duì)灰色三角形用正弦定理，有

 =                                        （2）

解（1）（2）兩式得：ΣF = 

最后運(yùn)用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車(chē)加速度）

答： 。

2、如圖6所示，光滑斜面傾角為θ，在水平地面上加速運(yùn)動(dòng)。斜面上用一條與斜面平行的細(xì)繩系一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)斜面加速度為a時(shí)（a＜ctgθ），小球能夠保持相對(duì)斜面靜止。試求此時(shí)繩子的張力T 。

解說(shuō)：當(dāng)力的個(gè)數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時(shí)，宜用正交分解處理受力，在對(duì)應(yīng)牛頓第二定律的“獨(dú)立作用性”列方程。

正交坐標(biāo)的選擇，視解題方便程度而定。

解法一：先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩方程

ΣF_x = ma ，即T_x － N_x = ma

ΣF_y = 0 ， 即T_y + N_y = mg

代入方位角θ，以上兩式成為

T cosθ－N sinθ = ma                       （1）

T sinθ + Ncosθ = mg                       （2）

這是一個(gè)關(guān)于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ

解法二：下面嘗試一下能否獨(dú)立地解張力T 。將正交分解的坐標(biāo)選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。這時(shí)，在分解受力時(shí)，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個(gè)坐標(biāo)軸上，是需要分解的。矢量分解后，如圖8所示。

根據(jù)獨(dú)立作用性原理，ΣF_x = ma_x

即：T － G_x = ma_x

即：T － mg sinθ = m acosθ

顯然，獨(dú)立解T值是成功的。結(jié)果與解法一相同。

答案：mgsinθ + ma cosθ

思考：當(dāng)a＞ctgθ時(shí)，張力T的結(jié)果會(huì)變化嗎？（從支持力的結(jié)果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒(méi)有意義。答：T = m 。）

學(xué)生活動(dòng)：用正交分解法解本節(jié)第2題“進(jìn)階練習(xí)2”

進(jìn)階練習(xí)：如圖9所示，自動(dòng)扶梯與地面的夾角為30°，但扶梯的臺(tái)階是水平的。當(dāng)扶梯以a = 4m/s²的加速度向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，站在扶梯上質(zhì)量為60kg的人相對(duì)扶梯靜止。重力加速度g = 10 m/s²，試求扶梯對(duì)人的靜摩擦力f 。

解：這是一個(gè)展示獨(dú)立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學(xué)生選擇兩種坐標(biāo)（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對(duì)比解題過(guò)程，進(jìn)而充分領(lǐng)會(huì)用牛頓第二定律解題的靈活性。

答：208N 。

3、如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知�，F(xiàn)將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時(shí)加速度。

解說(shuō)：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時(shí)釋放，會(huì)有什么現(xiàn)象？原因是什么？

結(jié)論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。

第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時(shí)調(diào)節(jié)”這一難點(diǎn)（從即將開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)來(lái)反推）。

知識(shí)點(diǎn)，牛頓第二定律的瞬時(shí)性。

答案：a_甲 = gsinθ ；a_乙 = gtgθ 。

應(yīng)用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質(zhì)量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當(dāng)懸掛吊籃的細(xì)繩被燒斷瞬間，P、Q的加速度分別是多少？

解：略。

答：2g ；0 。

三、牛頓第二、第三定律的應(yīng)用

要點(diǎn)：在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，如果遇到幾個(gè)研究對(duì)象時(shí)，就會(huì)面臨如何處理對(duì)象之間的力和對(duì)象與外界之間的力問(wèn)題，這時(shí)有必要引進(jìn)“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念，并適時(shí)地運(yùn)用牛頓第三定律。

在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，使過(guò)程的物理意義更加明晰。

對(duì)N個(gè)對(duì)象，有N個(gè)隔離方程和一個(gè)（可能的）整體方程，這（N + 1）個(gè)方程中必有一個(gè)是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。

補(bǔ)充：當(dāng)多個(gè)對(duì)象不具有共同的加速度時(shí)，一般來(lái)講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個(gè)局限（可以介紹推導(dǎo)過(guò)程）——

Σ= m₁ + m₂ + m₃ + … + m_n

其中Σ只能是系統(tǒng)外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。

1、如圖12所示，光滑水平面上放著一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個(gè)沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系怎樣？

解說(shuō)：截取隔離對(duì)象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。

答案：N = x 。

思考：如果水平面粗糙，結(jié)論又如何？

解：分兩種情況，（1）能拉動(dòng)；（2）不能拉動(dòng)。

第（1）情況的計(jì)算和原題基本相同，只是多了一個(gè)摩擦力的處理，結(jié)論的化簡(jiǎn)也麻煩一些。

第（2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M ，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μMg ，其中l(wèi)＜L ，則x＜(L-l)的右段沒(méi)有張力，x＞(L-l)的左端才有張力。

答：若棒仍能被拉動(dòng)，結(jié)論不變。

若棒不能被拉動(dòng)，且F = μMg時(shí)（μ為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，M為棒的總質(zhì)量），當(dāng)x＜(L-l)，N≡0 ；當(dāng)x＞(L-l)，N = 〔x -〈L-l〉〕。

應(yīng)用：如圖13所示，在傾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個(gè)長(zhǎng)方體滑塊，它們的質(zhì)量分別為m₁和m₂ ，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ₁和μ₂ ，系統(tǒng)釋放后能夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為：

A、μ₁ m₁gcosθ ；    B、μ₂ m₁gcosθ ；

C、μ₁ m₂gcosθ ；    D、μ₁ m₂gcosθ ；

解：略。

答：B 。（方向沿斜面向上。）

思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v₀一起上沖，以上結(jié)論會(huì)變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒(méi)有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度v₀一起上沖，球應(yīng)對(duì)盒子的哪一側(cè)內(nèi)壁有壓力？

解：略。

答：（1）不會(huì)；（2）沒(méi)有；（3）若斜面光滑，對(duì)兩內(nèi)壁均無(wú)壓力，若斜面粗糙，對(duì)斜面上方的內(nèi)壁有壓力。

2、如圖15所示，三個(gè)物體質(zhì)量分別為m₁ 、m₂和m₃ ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計(jì)，繩子的質(zhì)量也不計(jì)，為使三個(gè)物體無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，水平推力F應(yīng)為多少？

解說(shuō)：

此題對(duì)象雖然有三個(gè)，但難度不大。隔離m₂ ，豎直方向有一個(gè)平衡方程；隔離m₁ ，水平方向有一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程；整體有一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程。就足以解題了。

答案：F =  。

思考：若將質(zhì)量為m₃物體右邊挖成凹形，讓m₂可以自由擺動(dòng)（而不與m₃相碰），如圖16所示，其它條件不變。是否可以選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)腇′，使三者無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)？如果沒(méi)有，說(shuō)明理由；如果有，求出這個(gè)F′的值。

解：此時(shí)，m₂的隔離方程將較為復(fù)雜。設(shè)繩子張力為T(mén) ，m₂的受力情況如圖，隔離方程為：

 = m₂a

隔離m₁ ，仍有：T = m₁a

解以上兩式，可得：a = g

最后用整體法解F即可。

答：當(dāng)m₁ ≤ m₂時(shí)，沒(méi)有適應(yīng)題意的F′；當(dāng)m₁ ＞ m₂時(shí)，適應(yīng)題意的F′=  。

3、一根質(zhì)量為M的木棒，上端用細(xì)繩系在天花板上，棒上有一質(zhì)量為m的貓，如圖17所示�，F(xiàn)將系木棒的繩子剪斷，同時(shí)貓相對(duì)棒往上爬，但要求貓對(duì)地的高度不變，則棒的加速度將是多少？

解說(shuō)：法一，隔離法。需要設(shè)出貓爪抓棒的力f ，然后列貓的平衡方程和棒的動(dòng)力學(xué)方程，解方程組即可。

法二，“新整體法”。

據(jù)Σ= m₁ + m₂ + m₃ + … + m_n ，貓和棒的系統(tǒng)外力只有兩者的重力，豎直向下，而貓的加速度a₁ = 0 ，所以：

（ M + m ）g = m·0 + M a₁ 

解棒的加速度a₁十分容易。

答案：g 。

四、特殊的連接體

當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)體的加速度不相等時(shí)，經(jīng)典的整體法不可用。如果各個(gè)體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時(shí)，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。

解題思想：抓某個(gè)方向上加速度關(guān)系。方法：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。、

1、如圖18所示，一質(zhì)量為M 、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。

解說(shuō)：本題涉及兩個(gè)物體，它們的加速度關(guān)系復(fù)雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對(duì)兩者列隔離方程時(shí)，務(wù)必在這個(gè)方向上進(jìn)行突破。

（學(xué)生活動(dòng)）定型判斷斜面的運(yùn)動(dòng)情況、滑塊的運(yùn)動(dòng)情況。

位移矢量示意圖如圖19所示。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，加速度矢量a₁和a₂也具有這樣的關(guān)系。

（學(xué)生活動(dòng)）這兩個(gè)加速度矢量有什么關(guān)系？

沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐標(biāo)，可得：

a_1y = a_2y             ①

且：a_1y = a₂sinθ     ②

隔離滑塊和斜面，受力圖如圖20所示。

對(duì)滑塊，列y方向隔離方程，有：

mgcosθ- N = ma_1y     ③

對(duì)斜面，仍沿合加速度a₂方向列方程，有：

Nsinθ= Ma₂          ④

解①②③④式即可得a₂ 。

答案：a₂ =  。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：如何求a₁的值？

解：a_1y已可以通過(guò)解上面的方程組求出；a_1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsinθ= ma_1x ，得:a_1x = gsinθ 。最后據(jù)a₁ = 求a₁ 。

答：a₁ =  。

2、如圖21所示，與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ，可以無(wú)摩擦地在棒上滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)與棒的A端相距b ，相對(duì)棒靜止。當(dāng)棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a（且a＞gtgθ）時(shí)，求滑套C從棒的A端滑出所經(jīng)歷的時(shí)間。

解說(shuō)：這是一個(gè)比較特殊的“連接體問(wèn)題”，尋求運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的關(guān)系似乎比動(dòng)力學(xué)分析更加重要。動(dòng)力學(xué)方面，只需要隔離滑套C就行了。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：為什么題意要求a＞gtgθ？（聯(lián)系本講第二節(jié)第1題之“思考題”）

定性繪出符合題意的運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖，如圖22所示：S表示棒的位移，S₁表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直角坐標(biāo)后，S_1x表示S₁在x方向上的分量。不難看出：

S_1x + b = S cosθ                   ①

設(shè)全程時(shí)間為t ，則有：

S = at²                          ②

S_1x = a_1xt²                        ③

而隔離滑套，受力圖如圖23所示，顯然：

mgsinθ= ma_1x                       ④

解①②③④式即可。

答案：t = 

另解：如果引進(jìn)動(dòng)力學(xué)在非慣性系中的修正式 Σ+ ^* = m （注：^*為慣性力），此題極簡(jiǎn)單。過(guò)程如下——

以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖24所示。

注意，滑套相對(duì)棒的加速度a_相是沿棒向上的，故動(dòng)力學(xué)方程為：

F^*cosθ- mgsinθ= ma_相            （1）

其中F^* = ma                      （2）

而且，以棒為參照，滑套的相對(duì)位移S_相就是b ，即：

b = S_相 = a_相 t²                 （3）

解（1）（2）（3）式就可以了。

第二講 配套例題選講

教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》，知識(shí)出版社，2002年8月第一版。

例題選講針對(duì)“教材”第三章的部分例題和習(xí)題。

Ⅰ．用多用電表進(jìn)行了幾次測(cè)量，指針?lè)謩e處于a、b的位置，如圖所示。若多用電表的選擇開(kāi)關(guān)處于下面表格中所指的檔位，a和b的相應(yīng)讀數(shù)是多少？請(qǐng)?zhí)钤诒砀裰小?/p>

Ⅱ．用右圖所示的電路，測(cè)定一節(jié)干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。電池的內(nèi)阻較小，為了防止在調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器時(shí)造成短路，電路中用一個(gè)定值電阻R₀起保護(hù)作用。除電池、開(kāi)關(guān)和導(dǎo)線外，可供使用的實(shí)驗(yàn)器材還有：

（a）電流表（量程0.6A、3A）；

（b）電壓表（量程3V、15V）

（c）定值電阻（阻值1、額定功率5W）

（d）定值電阻（阻值10，額定功率10W）

（e）滑動(dòng)變阻器（陰值范圍0--10、額定電流2A）

（f）滑動(dòng)變阻器（阻值范圍0-100、額定電流1A）

那么

（1）要正確完成實(shí)驗(yàn)，電壓表的量程應(yīng)選擇      V，電流表的量程應(yīng)選擇       A； R₀應(yīng)選擇       的定值電阻，R應(yīng)選擇阻值范圍是          的滑動(dòng)變阻器。

（2）引起該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差的主要原因是                             。

Ⅲ．探究力對(duì)原來(lái)靜止的物體做的功與物體獲得的速度的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示，實(shí)驗(yàn)主要過(guò)程如下：

   （1）設(shè)法讓橡皮筋對(duì)小車(chē)做的功分別為W、2W、3W、……；

   （2）分析打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶，求出小車(chē)的速度、、、……；

   （3）作出草圖；

   （4）分析圖像。如果圖像是一條直線，表明∝；如果不是直線，可考慮是否存在∝、∝、∝等關(guān)系。

以下關(guān)于該試驗(yàn)的說(shuō)法中有一項(xiàng)不正確，它是___________。

A．本實(shí)驗(yàn)設(shè)法讓橡皮筋對(duì)小車(chē)做的功分別為W、2W、3W、……。所采用的方法是選用同樣的橡皮筋，并在每次實(shí)驗(yàn)中使橡皮筋拉伸的長(zhǎng)度保持一致。當(dāng)用1條橡皮筋進(jìn)行是實(shí)驗(yàn)時(shí)，橡皮筋對(duì)小車(chē)做的功為W，用2條、3條、……橡皮筋并在一起進(jìn)行第2次、第3次、……實(shí)驗(yàn)時(shí)，橡皮筋對(duì)小車(chē)做的功分別是2W、3W、……。

B．小車(chē)運(yùn)動(dòng)中會(huì)受到阻力，補(bǔ)償?shù)姆椒�，可以使木板適當(dāng)傾斜。

C．某同學(xué)在一次實(shí)驗(yàn)中，得到一條記錄紙帶。紙帶上打出的點(diǎn)，兩端密、中間疏。出現(xiàn)這種情況的原因，可能是沒(méi)有使木板傾斜或傾角太小。

D．根據(jù)記錄紙帶上打出的點(diǎn)，求小車(chē)獲得的速度的方法，是以紙帶上第一點(diǎn)到最后一點(diǎn)的距離來(lái)進(jìn)行計(jì)算。