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如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

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如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

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如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

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如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AF和BE所成的角的余弦值：
（2）求平面ACC₁與平面BFC₁所成的銳二面角：
（3）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的取值范圍．

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1．解：依題設有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

2．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

3．（必做題）（本小題滿分10分）

解：（1）記“恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學的概率為

（2）隨機變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

4．（必做題）（本小題滿分10分）

（1），，，  ，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個法向量為

設平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

  ∴所求的余弦值為    ……6分

（3）設（）

，由得

即，

當時，

當時，∴   ……………………………………10分