如圖，在棱長為1的正方體AC1中，E、F分別為A1D1和A1B1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面BDD1與平面BFC1所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上，且EP∥平面BFC1，求EP的最大值、最小值．

【答案】分析：（1）確定平面BDD1的一個法向量、平面BFC1的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BDD1與平面BFC1所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），確定y的范圍，表示出EP，即可求EP的最大值、最小值．
解答：解：（I）平面BDD1的一個法向量為
設(shè)平面BFC1的法向量為
∴
取z=1得平面BFC1的一個法向量
∴
∴所求的余弦值為…（5分）
（II）設(shè)P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），，
由得
即，
∵0≤x≤1，∴，∴
∴
∵，∴當(dāng)時，∴，當(dāng)時，∴…（10分）
點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在棱長都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B1C⊥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點(diǎn)O在平面α內(nèi)，底面ABC平行于平面α，平面OBC與平面α的交線為l．
（1）當(dāng)平面OBC繞l順時針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時，求平面OBC轉(zhuǎn)過角的正弦
值．
（2）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1（如圖1），B1C1的中點(diǎn)為O1．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O1P⊥OBC？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在棱長都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B1C⊥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年江蘇省南京市金陵中學(xué)高三（上）8月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在棱長都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B1C⊥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年安徽省合肥八中高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點(diǎn)O在平面α內(nèi)，底面ABC平行于平面α，平面OBC與平面α的交線為l．
（1）當(dāng)平面OBC繞l順時針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時，求平面OBC轉(zhuǎn)過角的正弦
值．
（2）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1（如圖1），B1C1的中點(diǎn)為O1．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O1P⊥OBC？請說明理由．

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