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已知橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁和l₂，過橢圓E的右焦點F作直線l，使得l⊥l₂于點C，又l與l₁交于點P，l與橢圓E的兩個交點從上到下依次為A，B（如圖）．
（1）當直線l₁的傾斜角為30°，雙曲線的焦距為8時，求橢圓的方程；
（2）設(shè)

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，證明：λ₁+λ₂為常數(shù)．

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已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點F（1，0）．過點F作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓G于A、B兩點，M（2，0）是一個定點．如圖所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D兩點（不同于A、B），記直線CD的斜率為k₁．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）在直線l的斜率k變化的過程中，是否存在一個常數(shù)λ，使得k₁=λk恒成立？若存在，求出這個常數(shù)λ；若不存在，請說明理由．

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已知橢圓

x2

a2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，右焦點為F（1，0），直線l經(jīng)過點F且與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的一個動點，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）當直線l繞點F轉(zhuǎn)動時，試問：在x軸上是否存在定點S，使

SA

•

SB

為常數(shù)，若存在，求出定點S的坐標；若不存在，請說明理由．

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1．解：依題設(shè)有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

2．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

3．（必做題）（本小題滿分10分）

解：（1）記“恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學的概率為

（2）隨機變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

4．（必做題）（本小題滿分10分）

（1），，，  ，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個法向量為

設(shè)平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

  ∴所求的余弦值為    ……6分

（3）設(shè)（）

，由得

即，

當時，

當時，∴   ……………………………………10分