已知橢圓和橢圓的離心率相同，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且恰為弦的中點(diǎn)。求證：無(wú)論點(diǎn)怎樣變化，的面積為常數(shù)，并求出此常數(shù).

（1）橢圓的方程為；（2）的面積為常數(shù)．

解析試題分析：（1）由題知，且，解這個(gè)方程組求得即可得橢圓的方程；（2）涉及直線與曲線的關(guān)系的問(wèn)題，多是將直線方程與曲線方程聯(lián)立再用韋達(dá)定理解決.此題中有兩個(gè)橢圓，將哪個(gè)橢圓的方程與直線方程聯(lián)立？此題意即直線與的交點(diǎn)的中點(diǎn)在上，故應(yīng)將直線方程與的方程聯(lián)立由韋達(dá)定理得中點(diǎn)坐標(biāo)，再將中點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程.然后求出三角形OAB的面積的表達(dá)式，再利用前面所得關(guān)系式化為一常數(shù)即可.
試題解析：（1）由題知，且 即，橢圓的方程為；    4分
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，必有，此時(shí)，        5分
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為、點(diǎn)，則
與橢圓聯(lián)立，得，設(shè)，
則  即            8分
又             9分



綜上，無(wú)論怎樣變化，的面積為常數(shù)．            12分
考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)與雙曲線-=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是(　　)

A．x2=4y　　　　 B．x2=-4y
C．y2=-12x　　 D．x2=-12y

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

如圖，過(guò)拋物線y2＝2px (p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為(　　)

A．y2＝9x           B．y2＝6x
C．y2＝3x           D．y2＝x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

設(shè)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到直線x=﹣3的距離為5，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（　�。�

A．3 B．4 C．6 D．8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

已知雙曲線 (a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線(p>0)分別交于O、A、B三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p=
A．1     B．    C．2    D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于，且，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于不同兩點(diǎn),則直線的斜率的取值范圍是（　�。�

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)等于（    ）

A． B． C． D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于 軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（  ）

A． B． 
C． D． 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，則的實(shí)軸長(zhǎng)為（   ）

A．
B．2
C．4
D．8

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