（2011•濰坊二模）2011年3月，日本發(fā)生了9.0級(jí)地震，地震引發(fā)了海嘯及核泄漏，某國(guó)際組織計(jì)劃派出12名心理專家和18名核專家赴日本工作，臨行前對(duì)這30名專家進(jìn)行了總分為1000分的綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)，測(cè)評(píng)成績(jī)用莖葉圖進(jìn)行了記錄，如圖（單位：分）．規(guī)定測(cè)評(píng)成績(jī)?cè)?76分以上（包括976）為“尖端專家”，測(cè)評(píng)成績(jī)?cè)?76分以下為“高級(jí)專家”，且只有核專家中的“尖端專家”才可以獨(dú)立開(kāi)展工作，這些專家先飛抵日本的城市E，再分乘三輛汽車到達(dá)工作地點(diǎn)福島縣．已知從城市E到福島縣有三條公路，因地震破壞了道路，汽車可能受阻．據(jù)了解：汽車走公路I和公路II順利到達(dá)的概率都為

9

10

；走公路III順利到達(dá)的概率為

2

5

，甲、乙、丙三輛車分別走公路I、II、III，且三輛汽車是否順利到達(dá)相互之間沒(méi)有影響．
（I）如果用分層抽樣的方法從“尖端專家”和“高級(jí)專家”中選取6人，再?gòu)倪@6人中選2人，那么至少有一人是“尖端專家”的概率是多少？
（Ⅱ）求至少有兩輛汽車順利到達(dá)福島縣的概率；
（Ⅲ）若從所有“尖端專家”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能獨(dú)立開(kāi)展工作的人數(shù)，試寫(xiě)出ξ的數(shù)學(xué)期望．

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一、選擇題

1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

6.A 提示：設(shè)＝，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（0，0）連線的斜率.當(dāng)該直線kx－y＝0與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.圓心（2,0），由＝1，解得，∴的最大值為.11.(文) B 

11.(文) A       提示：拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），作PA垂直于準(zhǔn)線x＝－1，則

｜PA｜＝｜PF｜，當(dāng)A、P、Q在同一條直線上時(shí)，

｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，

此時(shí)，點(diǎn)P到Q點(diǎn)距離與拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值，

P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，有1＝4x，x＝，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，－1），故選A。

11.（理） B提示：設(shè)則

又。

12.A    提示:如右圖所示,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x₀,y₀),由拋物線以F₂為頂點(diǎn),F₁為焦點(diǎn),可得其準(zhǔn)線的方

程為x＝3c, 根據(jù)拋物線的定義可得|PF₁|＝|PR|＝3c－x₀,又由點(diǎn)P為雙曲線上的點(diǎn),根據(jù)雙曲線的第二定義可得＝e, 即得|PF₂|＝ex₀－a, 由已知a|PF₂|＋c|PF₁|＝8a²，可得－a²＋3c²＝8a²,即e²＝3,由e＞1可得e＝, 故應(yīng)選A.

二、填空題：13-16文理    3   35

九、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)

一  選擇題

1．與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有 （   ）

A．2條          B.3條         C.4條        D.6條

1.C提示： 在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩類：①直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，有兩條與已知圓相切；②直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為，也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線互不相同，故選C.

2．在中，三內(nèi)角所對(duì)的邊是且成等差數(shù)列，那么直線與直線的位置關(guān)系是  （        ）

A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

2.B提示：成等差數(shù)列，

又，

，故兩直線重合。選B。

3.已知函數(shù)，集合，集合，則集合的面積是      

A．             B．            C．            D．

3.D提示： 集合即為：，集合即為： ，其面積等于半圓面積。

4．（文）已知直線m：交x軸于M，E是直線m上的點(diǎn)，N(1，0)，又P在線段EN的垂直平分線上，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(  )

A．圓   B．橢圓   C．雙曲線    D．拋物線

4．（文）D．

4．（理）已知P在雙曲線上變動(dòng)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的重心G的軌跡方程是(  )

A．    B．

C．     D．

4．（理）C．提示：雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(6，0)．設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)P(x₀，y₀)， 的重心G(x，y)，則由重心公式，

得，解得，代入，得為所求．

5.已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，則方程表示（　　�。�

A.焦點(diǎn)在軸上的橢圓　　　　　B.焦點(diǎn)在軸上的橢圓

C.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線　　　　D.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線

5.B提示：由，又是三角形的一個(gè)內(nèi)角，故，

再由，

結(jié)合解得

。

故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。選B。

或者結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線直接斷定。

6.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。� 　　 ）

A.有且僅有一條     B.有且僅有兩條      C.有無(wú)窮多條      D.不存在

6.B提示：該拋物線的通徑長(zhǎng)為4，而這樣的弦AB的長(zhǎng)為，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。

或者（1）當(dāng)該直線的斜率不存在時(shí)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2；

（2）當(dāng)該直線的斜率存在時(shí)，設(shè)該直線方程為，代入拋物線方程得

，由。故這樣的直線有且僅有兩條。

7.一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，（2，）是橢圓上一點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則橢圓方程為　　　　　　　　　　　�。ā　　。�

A.     B.    C.     D.

7.A提示：設(shè)橢圓方程為，由成等差數(shù)列知，從而，故橢圓方程為，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故所求的橢圓方程為。選A。

8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點(diǎn)的三角形形狀為（  ）

A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等邊三角形

8. B.提示：由兩點(diǎn)間距離公式，得，，故選B.

9. 若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（�。�

A．，　  B．，   　　C．，　  D．，

9.D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得

若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則應(yīng)滿足

。選D。

10. （文）設(shè)離心率為e的雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線過(guò)點(diǎn)F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是（　�。�

Ａ．      Ｂ． 

Ｃ．      Ｄ．

10. （理）已知兩個(gè)點(diǎn)M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線①②③④。其中屬于“B型直線”的是（      ）

A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

10. （文）C  提示：由已知設(shè)漸近線的斜率為于是

，即故選C；

10. （理）B 提示：理解為以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線，則c=5, 又|PM|-|PN|=6，則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線的右支，所謂“B型直線”即直線與雙曲線的右支有交點(diǎn)，又漸近線為：，逐一分析，只有①②與雙曲線右支有交點(diǎn)，故選B；

11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為   （   ）

A、      B、     C、     D、2

11.B提示：，由    又

∴ 故選B項(xiàng)。

12．若AB過(guò)橢圓 ＋ =1 中心的弦, F₁為橢圓的焦點(diǎn), 則△F₁AB面積的最大值為(    ) 

A. 6   B.12   C.24   D.48

12.B提示：設(shè)AB的方程為，代入橢圓方程得，。選B。

二  填空題

13.橢圓M：=1 (a>b>0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且 的最大值的取值范圍是[2c²，3c²]，其中. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是         

13.

14. 1.1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國(guó)）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星.衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)為m km，遠(yuǎn)地點(diǎn)為  n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)等于         

14. 2提示：  －c=m+R， +c=n+R，

∴c=，b=2=2.

15. 已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是                               。

15. 提示：滿足(a-2)(b-2)=2。設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 則a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

    16．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中

①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作該圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線有相同的焦點(diǎn).

其中真命題的序號(hào)為                 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

16. ③、④

三  解答題（７４分）

17. （本小題滿分12分）已知，直線：和圓：．

（1）求直線斜率的取值范圍；

（2）直線能否將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓��？為什么？

解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

所以，斜率的取值范圍是．

（2）不能．由（1）知的方程為，其中．

圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離．

由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對(duì)的圓心角小于．所以不能將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段�。�

18. （本小題滿分12分）已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求的值

18.解：（1）由題意知：

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.        

（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 .   

在△ABC中，由正弦定理，  ，

∴＝ .       

19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是(為大于0的常數(shù)).

 （1）求橢圓的方程;

 （2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)