題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 設(shè)
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用
關(guān)系式，表示通項(xiàng)公式，然后得到第一問(wèn)，第二問(wèn)中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結(jié)論。
解：(Ⅰ)當(dāng)
時(shí)，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對(duì)偶式）設(shè)
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">，所以
.即
………10分
證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)
時(shí), 
,命題成立;
②假設(shè)
時(shí),命題成立,即
,
則當(dāng)
時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí)，命題成立.
綜上可知，對(duì)一切非零自然數(shù)，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
解：能否投中，那得看拋物線(xiàn)與籃圈所在直線(xiàn)是否有交點(diǎn)。因?yàn)楹瘮?shù)
的零點(diǎn)是-2與4，籃圈所在直線(xiàn)x=5在4的右邊，拋物線(xiàn)又是開(kāi)口向下的，所以投不中。
某城市出租汽車(chē)的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km，則按10元的標(biāo)準(zhǔn)收租車(chē)費(fèi)
若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足1km的部分按lkm計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km．某司機(jī)常駕車(chē)在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車(chē)路線(xiàn)的不同以及途中停車(chē)時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車(chē)路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車(chē)5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車(chē)路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，
（１）他收旅客的租車(chē)費(fèi)η是否也是一個(gè)隨機(jī)變量？如果是，找出租車(chē)費(fèi)η與行車(chē)路程ξ的關(guān)系式；
(２)已知某旅客實(shí)付租車(chē)費(fèi)38元，而出租汽車(chē)實(shí)際行駛了15km，問(wèn)出租車(chē)在途中因故停車(chē)?yán)塾?jì)最多幾分鐘?這種情況下，停車(chē)?yán)塾?jì)時(shí)間是否也是一個(gè)隨機(jī)變量？
2．A解析：由
知函數(shù)在
上有零點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+
)上是減函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x) 在(0,+)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)不妨設(shè)為
,則
，又因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以
=0并且函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù)，因此-是(-，0)上的唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)共有兩個(gè)零點(diǎn)
下列敘述中，是隨機(jī)變量的有（ ）
①某工廠(chǎng)加工的零件，實(shí)際尺寸與規(guī)定尺寸之差;②標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰的溫度;③某大橋一天經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù);④向平面上投擲一點(diǎn)，此點(diǎn)坐標(biāo).
Ａ．②③ Ｂ．①② Ｃ．①③④ �。模佗�
某地區(qū)的一種特色水果上市時(shí)間能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①
；②
；③
(以上三式中
、
均為常數(shù)，且>2)．
(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)，為什么?
(2)若
(1)=4，(3)=6，求出所選函數(shù)(
)的解析式(注：函數(shù)的定義域是[1，6]．其中=1表示4月1日，=2表示5月1日，……以此類(lèi)推)；
(3)在(2)的條件下，這種水果在幾月份價(jià)格下跌?
已知數(shù)列
是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，
為其前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足
,
．?dāng)?shù)列
滿(mǎn)足
,，
為數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
和數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）若對(duì)任意的，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)
，使得
成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】第一問(wèn)利用在
中，令n=1，n=2，
得
即
解得
，，
[
又時(shí)，
滿(mǎn)足，
，
第二問(wèn)，①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．
，等號(hào)在n=2時(shí)取得．
此時(shí)
需滿(mǎn)足
．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．
此時(shí) 需滿(mǎn)足
．
第三問(wèn)
，
若
成等比數(shù)列，則
，
即． 
由，可得
，即
，
． 
（1）（法一）在中，令n=1，n=2，
得 即
解得，， [
又時(shí)，滿(mǎn)足，
，
．
（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
，等號(hào)在n=2時(shí)取得．
此時(shí) 需滿(mǎn)足．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．
此時(shí) 需滿(mǎn)足．
綜合①、②可得的取值范圍是．
（3），
若成等比數(shù)列，則，
即．
由，可得，即，
．
又
，且m>1，所以m=2，此時(shí)n=12．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，
n=12時(shí)，數(shù)列
中的成等比數(shù)列
一、選擇題
1-5 BBAB 文B理A 6-10 ADCBC 11-12文B理D A
6.A 提示：設(shè)
＝
，則
表示點(diǎn)
與點(diǎn)（0，0）連線(xiàn)的斜率.當(dāng)該直線(xiàn)kx－y＝0與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.圓心（2,0），由
＝1，解得
，∴
的最大值為
.11.(文) B
11.(文) A 提示：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（1，0），作PA垂直于準(zhǔn)線(xiàn)x＝－1，則
｜PA｜＝｜PF｜，當(dāng)A、P、Q在同一條直線(xiàn)上時(shí)，
｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，
此時(shí)，點(diǎn)P到Q點(diǎn)距離與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和取得最小值，
P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，有1＝4x，x＝
，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，－1），故選A。
11.（理） B提示：設(shè)
則
又
。
12.A 提示:如右圖所示,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線(xiàn)以F2為頂點(diǎn),F1為焦點(diǎn),可得其準(zhǔn)線(xiàn)的方
程為x＝3c, 根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn),根據(jù)雙曲線(xiàn)的第二定義可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故應(yīng)選A.
二、填空題：13-16文
理
3 35
九、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)
一 選擇題
1．與圓
相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)共有 （ ）
A．2條 B.3條 C.4條 D.6條
1.C提示： 在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)有兩類(lèi)：①直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，有兩條與已知圓相切；②直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為
，也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線(xiàn)互不相同，故選C.
2．在
中，三內(nèi)角
所對(duì)的邊是
且
成等差數(shù)列，那么直線(xiàn)
與直線(xiàn)
的位置關(guān)系是 （ ）
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
2.B提示：成等差數(shù)列
，
又
，
，故兩直線(xiàn)重合。選B。
3.已知函數(shù)
，集合
，集合
，則集合
的面積是
A．
B． 
C．
D． 
3.D提示： 集合
即為：
，集合
即為： 
，其面積等于半圓面積。
4．（文）已知直線(xiàn)m：
交x軸于M，E是直線(xiàn)m上的點(diǎn)，N(1，0)，又P在線(xiàn)段EN的垂直平分線(xiàn)上，且
，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線(xiàn) D．拋物線(xiàn)
4．（文）D．
4．（理）已知P在雙曲線(xiàn)
上變動(dòng)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，則
的重心G的軌跡方程是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
4．（理）C．提示：雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(6，0)．設(shè)雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，則由重心公式，
得
，解得
，代入
，得為所求．
5.已知
是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且
，則方程
表示（ �。�
A.焦點(diǎn)在
軸上的橢圓 B.焦點(diǎn)在
軸上的橢圓
C.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn) D.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)
5.B提示：由
，又是三角形的一個(gè)內(nèi)角，故
，
再由
，
結(jié)合解得
。
故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。選B。
或者結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)直接斷定
。
6.過(guò)拋物線(xiàn)
的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線(xiàn) �。�
）
A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無(wú)窮多條 D.不存在
6.B提示：該拋物線(xiàn)的通徑長(zhǎng)為4，而這樣的弦AB的長(zhǎng)為
，故這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條。選B。
或者（1）當(dāng)該直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2；
（2）當(dāng)該直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)該直線(xiàn)方程為
，代入拋物線(xiàn)方程得
，由
。故這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條。
7.一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)
在軸上，
（2，
）是橢圓上一點(diǎn)，且
成等差數(shù)列，則橢圓方程為 （ �。�
A.
B.
C.
D.
7.A提示：設(shè)橢圓方程為
，由成等差數(shù)列知
，從而
，故橢圓方程為
，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得
，故所求的橢圓方程為。選A。
8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點(diǎn)的三角形形狀為（ ）
A .直角三角形 B. 等腰三角形 C.非等腰三角形三角形 D.等邊三角形
8. B.提示：由兩點(diǎn)間距離公式，得
，
，故選B.
9. 若直線(xiàn)
與雙曲線(xiàn)
的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（�。�
A．
，
B．
， C．，
D．，
9.D提示：特別注意的題目。將直線(xiàn)代入雙曲線(xiàn)方程得
若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于不同的兩點(diǎn)，則應(yīng)滿(mǎn)足
。選D。
10. （文）設(shè)離心率為e的雙曲線(xiàn)
的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)
過(guò)點(diǎn)F且斜率為K，則直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C左、右支都有相交的充要條件是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10. （理）已知兩個(gè)點(diǎn)M（-5，0）和N（5，0），若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使|PM|-|PN|=6，則稱(chēng)該直線(xiàn)為“B型直線(xiàn)”。給出下列直線(xiàn)①
②
③
④
。其中屬于“B型直線(xiàn)”的是（
）
A、①③ B、①② C、③④ D、①④
10. （文）C 提示：由已知設(shè)漸近線(xiàn)的斜率為
于是
，即
故選C；
10.
（理）B 提示：理解為以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，則c=5, 又|PM|-|PN|=6，則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線(xiàn)
的右支，所謂“B型直線(xiàn)”即直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有交點(diǎn)，又漸近線(xiàn)為：
，逐一分析，只有①②與雙曲線(xiàn)右支有交點(diǎn)，故選B；
11.已知雙曲線(xiàn)
的左、右焦點(diǎn)分別為
，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且
，則此雙曲線(xiàn)的離心率
的最大值為 （ ）
A、
B、
C、
D、2
11.B提示：
，
由 
又
∴
故選B項(xiàng)。
12．若AB過(guò)橢圓 ＋ =1 中心的弦, F1為橢圓的焦點(diǎn), 則△F1AB面積的最大值為( )
A. 6 B.12 C.24 D.48
12.B提示：設(shè)AB的方程為
，代入橢圓方程得
，
。選B。
二 填空題
13.橢圓M：
=1 (a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且
的最大值的取值范圍是[2c2，3c2]，其中
. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是
13. 
14. 1.1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國(guó)）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星.衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)為m km，遠(yuǎn)地點(diǎn)為 n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)等于
14. 2
提示： 
－c=m+R， +c=n+R，
∴c=
，b=2
=2.
15. 已知與曲線(xiàn)C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線(xiàn)交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線(xiàn)段AB中點(diǎn)的軌跡方程是 。
15. 
提示：
滿(mǎn)足(a-2)(b-2)=2。設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 則a=2x,b=2y,
代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)=
(x>1,y>1)。
16．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題中
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，
，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)；
②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作該圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
則動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為橢圓；③方程
的兩根可分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率；
④雙曲線(xiàn)
有相同的焦點(diǎn).
其中真命題的序號(hào)為 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）
16. ③、④
三 解答題（７４分）
17. （本小題滿(mǎn)分12分）已知
，直線(xiàn)
：
和圓
：
．
（1）求直線(xiàn)斜率的取值范圍；
（2）直線(xiàn)能否將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓�。繛槭裁�？
解析：（1）直線(xiàn)的方程可化為
，直線(xiàn)的斜率
，因?yàn)?sub>
，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立．
所以，斜率的取值范圍是
．
（2）不能．由（1）知的方程為
，其中
．
圓的圓心為
，半徑
．圓心到直線(xiàn)的距離
．
由，得
，即
．從而，若與圓相交，則圓截直線(xiàn)所得的弦所對(duì)的圓心角小于
．所以不能將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段�。�
18. （本小題滿(mǎn)分12分）已知A、B分別是橢圓
的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P
）在橢圓上，線(xiàn)段PB與y軸的交點(diǎn)M為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求
的值
18.解：（1）由題意知：
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
=1.
（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴AC＋BC＝2a＝
，AB＝2c＝2 .
在△ABC中，由正弦定理，
，
∴＝
.
19．（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是
(
為大于0的常數(shù)).
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)
是橢圓上一點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)
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