(2)過(guò)橢圓C內(nèi)一點(diǎn)作直線l交橢圓C于M.N兩點(diǎn).求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

 橢圓C的中心為原點(diǎn)， 右焦點(diǎn)F（，0）， 以短軸的兩端點(diǎn)及F為頂點(diǎn)的三角形恰為等邊三角形. 

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓C內(nèi)的一點(diǎn)P（0，）作直線l交橢圓C于M、 N，求MN中點(diǎn)Q的軌跡方程；

（3）在（2）條件下，求△OMN的面積最大值. 

 

 

 

 

 

 

 

 

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橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，過(guò)橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，且．

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．

 

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橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，過(guò)橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．

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橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，過(guò)橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．

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若給定橢圓C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和點(diǎn)N（x0，y0），則稱直線l：ax0x+by0y=1為橢圓C的“伴隨直線”．
（1）若N（x0，y0）在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關(guān)系（當(dāng)直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)時(shí)，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交），并說(shuō)明理由；
（2）命題：“若點(diǎn)N（x0，y0）在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交．”寫出這個(gè)命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說(shuō)明理由；
（3）若N（x0，y0）在橢圓C的內(nèi)部，過(guò)N點(diǎn)任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點(diǎn)（異于A、B），設(shè)
MA
=λ1
AN
，
MB
=λ2
BN
，問λ1+λ2是否為定值？說(shuō)明理由．

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一、

DACCA  BDB

二、

9．16    10．2009      11．      12．     

13．    14．3        15．②③

三、

16．解：（1）由余弦定理得：

是以角C為直角的直角三角形.……………………6分

（2）中

………………①

………………②

②÷①得，

則……………………12分

17．解：（1）因?yàn)?sub>……………………………………（2分）

       ……………………………………………………（4分）

      

所以線路信息通暢的概率為。………………………（6分）

   （2）的所有可能取值為4，5，6，7，8。

      

       ……………………………………………………………（9分）

       ∴的分布列為

4

5

6

7

8

P

       …………………………………………………………………………………………（10分）

∴E=4×+5×+6×+7×+8×=6�！�12分）

18．解：解法一：（1）證明：連結(jié)OC，

∵ABD為等邊三角形，O為BD的中點(diǎn)，∴AO

垂直BD�！�1分）

       ∴ AO=CO=�！�2分）

       在AOC中，AC=，∴AO2+CO2=AC2，

∴∠AOC=900，即AO⊥OC。

       ∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD�！�3分）

   （2）過(guò)O作OE垂直BC于E，連結(jié)AE，

    ∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影為OE。

    ∴AE⊥BC。

    ∠AEO為二面角A―BC―D的平面角�！�7分）

       在RtAEO中，AO=，OE=，

∠，

       ∴∠AEO=arctan2。

       二面角A―BC―D的大小為arctan2。

       （3）設(shè)點(diǎn)O到面ACD的距離為∵VO-ACD=VA-OCD，

∴。

       在ACD中，AD=CD=2，AC=，

。

∴。

       ∴點(diǎn)O到平面ACD的距離為�！�12分）

解法二：（1）同解法一。

       （2）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

       則O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）

       ∵AO⊥平面DCD，

       ∴平面BCD的法向量=(0,0,)�！�5分）

    
   
    
    
    
    
    
           ，
           由。設(shè)與夾角為，
           則。
           ∴二面角A―BC―D的大小為arccos�！�8分）
       （3）解：設(shè)平面ACD的法向量為又
    �！�11分）
    設(shè)與夾角為，則
    設(shè)O到平面ACD的距離為，
    ∵,
    ∴O到平面ACD的距離為�！�12分）19．解：（1）.
    …共線，該直線過(guò)點(diǎn)P1（a,a），
    斜率為……………………3分
    當(dāng)時(shí)，An是一個(gè)三角形與一個(gè)梯形面積之和（如上圖所示），梯形面積是
    于是
    故…………………………7分
    （2）結(jié)合圖象，當(dāng)
    ，……………………10分
    而當(dāng)
    ，
    故當(dāng)1<a>2時(shí)，存在正整數(shù)n，使得……………………13分
    20．解：（1）
    設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
    又為正三角形，
    a=2b,結(jié)合 
    ∴所求為……………………2分
    （2）設(shè)P（x,y）M（），N（），
    直線l的方程為得，
    ……………………4分
    ………………6分
    又且滿足上述方程，
    ………………7分
    （3）由（2）得，　
    ∴
    …………………………9分
    又
    ……………………10分
    設(shè)
    面積的最大值為…………………………13分
    21．解：（1）由
    即可求得……………………3分
    （2）當(dāng)＞＞＞0,
    不等式≥≥≥…（5分）
    令
     
    由于
    ……………………7分
    當(dāng)
    當(dāng)
    當(dāng)
    又，
    故
    于是由；………………9分
    （3）由（2）知，
    在上式中分別令x=再三式作和即得
    所以有……………………13分
     
     
    		
    
	
	
    
		
    


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