橢圓C的中心為原點， 右焦點F（，0）， 以短軸的兩端點及F為頂點的三角形恰為等邊三角形. 

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過橢圓C內(nèi)的一點P（0，）作直線l交橢圓C于M、 N，求MN中點Q的軌跡方程；

（3）在（2）條件下，求△OMN的面積最大值. 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 （1）設(shè)橢圓C的標準方程為，

        ∵ 右焦點為F（，0）  ∴   

        又∵ △B1FB2為正三角形   ∴

        結(jié)合  得 ，  

        ∴ 橢圓C的標準方程是 ………………………………… 4分

   （2）設(shè)Q（x，y），M（，），N（，）

        當直線l的斜率存在時，直線l的方程為

        代入  得   

        ∴ ， ……………………  6分

        ∴   

消去k得  …………………………… 8分

又∵ k不存在時，點Q為（0，0）也滿足上述方程，

∴ 線段MN的中點Q的軌跡方程是  ………   9分

   （3）由（2）知，M（，），N（，），直線l的方程為

代入 得

∴ ，

∴

 ………………………………………………… 11分

又∵ 原點O到直線l的距離為

∴  ………………  12分

設(shè)

∴

∴ △OMN面積的最大值為 ………………………………………   14分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy，橢圓C的中心為原點，焦點F1F2在x軸上，離心率為
2
2
．過Fl的直線交于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，短軸長為2
2
，過F1的直線交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為
y2
16
+
x2
2
=1
y2
16
+
x2
2
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•深圳一模）已知橢圓C 的中心為原點O，焦點在x 軸上，離心率為
3
2
，且點(1，
3
2
)在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，橢圓C 的長軸為AB，設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，點Q 滿足
PQ
=
HP
，直線AQ與過點B 且垂直于x 軸的直線交于點M，
BM
=4
BN
．求證：∠OQN為銳角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為原點O，點F（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點，當直線l垂直于x軸時，
OA
•
OB
=
1
2

（I）求橢圓C的方程；
（II）已知點P為橢圓的上頂點，且存在實數(shù)t使
PA
+
PB
=t
PF
成立，求實數(shù)t的值和直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，且橢圓C與橢圓C1：
x2
4
+
y2
8
=1的離心率相同，過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，且△ABF2的周長為4
2
，那么橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1
x2
2
+y2=1
．

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