由雙曲線定義得:.. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

我們常用定義解決與圓錐曲線有關(guān)的問題．如“設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點(diǎn)F1作傾斜角為θ的弦AB，設(shè)|F1A|=r1，|F1B|=r2，試證
1
r1
+
1
r2
為定值”．
證明如下：不妨設(shè)A在x軸的上方，在△ABC中，由橢圓的定義及余弦定理得，（2a-r1）2=r12+4c2-4cr1cosθ，∴r1=
b2
a-ccosθ
，
同理r2=
b2
a-ccos(π-θ)
=
b2
a+ccosθ
，于是
1
r
1+
1
r
2=
2a
b2
．請(qǐng)用類似的方法探索：設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點(diǎn)F1作傾斜角為θ的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)A，左支交于點(diǎn)B，設(shè)|F1A|=r1，|F1B|=r2，是否有類似的結(jié)論成立，請(qǐng)寫出與定值有關(guān)的結(jié)論是______．．

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已知橢圓C：的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1以拋物線的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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