已知橢圓C:的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形,則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比.已知橢圓C1以拋物線的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)若橢圓C2與橢圓C1相似,且相似比為2,求橢圓C2的方程.
(2)已知點(diǎn)P(m,n)(mn≠0)是橢圓C1上的任一點(diǎn),若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn),證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上.
(3)已知直線l:y=x+1,與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直線l上,B,D在曲線Cb上,若存在求出函數(shù)f(b)=SABCD的解析式及定義域,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】分析:(1)由題設(shè)條件知:PF1|+|PF2|=2a=4,所以橢圓C1.設(shè)C2,由相似比為2可求出橢圓C2的方程.(2)由題設(shè)條件知,設(shè)點(diǎn)Q(x,y),由題設(shè)條件能推出,
由此可知點(diǎn)Q在雙曲線4x2-4y2=1上.
(3)橢圓C1,相似比為b,則橢圓Cb的方程為:.由題意:只需Cb上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱即可.設(shè)BD:y=-x+m,設(shè)BD中點(diǎn)為E(x,y),B(x1,y1),D(x2,y2,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
解答:解:(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,|PF1|+|PF2|=2a=4,所以橢圓C1
設(shè)C2,相似比為2,a2=4;b2=2,所以橢圓C2
(2)點(diǎn)P(m,n)在橢圓上,則,設(shè)點(diǎn)Q(x,y(7分),
所以點(diǎn)Q在雙曲線4x2-4y2=1上
(3)橢圓C1,相似比為b,則橢圓Cb的方程為:(11分)
由題意:只需Cb上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱即可
設(shè)BD:y=-x+m,設(shè)BD中點(diǎn)為E(x,y),B(x1,y1),D(x2,y2△=64m2-16×5×(m2-b2)>0⇒5b2>m2(13分)
由韋達(dá)定理知:E(x,y)在直線y=x+1上,則,所以(15分)
此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為,所以正方形的面積為
所以
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,避免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),A,B為兩個(gè)頂點(diǎn),已知橢圓C上的點(diǎn)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4且b=
3

(1)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),求△F1PQ的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),A、B為兩個(gè)頂點(diǎn),已知橢圓C上的點(diǎn)(1,
3
2
)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)N(0,
1
2
),求|MN|的最大值.
(3)過橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),求△F1PQ的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省高三下學(xué)期第二次聯(lián)考文數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,上頂點(diǎn)為A,△AF1F2為正三角形,且以線段F1F2為直徑的圓與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓C的方程和離心率e;

(Ⅱ)若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F1關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足. 問是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值?若存在,求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本小題滿分12分)

已知橢圓C:的離心率為,橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為6.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(0,1),且,求直線的方程.

 

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