已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，△AF1F2為正三角形，且以線段F1F2為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；

（Ⅱ）若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F1關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足. 問是否存在一個定點(diǎn)T，使得動點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值？若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在一個定點(diǎn)且定值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意由線段F1F2為直徑的圓與直線相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，可得c值，再由△AF1F2為正三角形，得a、b、c間關(guān)系，求出a、b的值，即得橢圓方程及離心率；（Ⅱ）假設(shè)存在一個定點(diǎn)T符合題意，先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，由題意得，可知動點(diǎn)M的軌跡，從而得解.

試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)焦點(diǎn)為，

以線段為直徑的圓與直線相切，，即c=2，     1分

又為正三角形，，  4分

橢圓C的方程為，離心率為.        6分

（Ⅱ）假設(shè)存在一個定點(diǎn)T符合題意，設(shè)動點(diǎn)，由點(diǎn)得

點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，                     7分

由得，

兩邊平方整理得，                      10分

即動點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓，

存在一個定點(diǎn)且定值為.                         12分

考點(diǎn)：1、橢圓方程及性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法；4、兩點(diǎn)間距離公式；5、圓的軌跡方程.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臨沂二模）
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為
3
2
，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，△AF1F2的周長為4+2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記
MQ
=λ
QN
，若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得
MR
=-λ
RN
，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動時，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動，求該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年浙江省嘉興市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)．
（I）如圖①，點(diǎn)M為橢圓C上的一點(diǎn)，N是MF1的中點(diǎn)，且NF2丄MF1，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離；
（II）如圖②，直線l：：y=k+m與橢圓C上相交于P，G兩點(diǎn)，若在橢圓C上存在點(diǎn)R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東臨沂高三5月高考模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，的周長為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任作一動直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，記，若在線段上取一點(diǎn)R，使得，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動時，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動，求該定直線的方程.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年黑龍江省高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

 

（本小題滿分12分）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,，離心率。

（Ⅰ）求橢圓C的方程：

（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為,，若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上。

 

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