（2010•聊城一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)S(0，-

1

3

)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)和△MAB面積的最大值；若不存在，說明理由．

（2013•菏澤二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切；若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．直線OA和OB的斜率分別為k_OA和k_OB，且k_OA•k_OB=-

b2

a2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：△OAB的面積為定值．

（2013•煙臺(tái)二模）已知銳角△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，定義向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)減區(qū)間；
（2）如果b=4，求△ABC面積的最大值．

柳州市積極響應(yīng)國家提高素質(zhì)教育的戰(zhàn)略構(gòu)想．某校對(duì)評(píng)三好學(xué)生進(jìn)行全面改革，制定新的評(píng)定細(xì)則，按新的評(píng)定細(xì)則，A、B、C三同學(xué)評(píng)為三好學(xué)生的概率分別為x、

1

2

x、

2

3

x（其中0≤x≤1）．
（1）當(dāng)x=0.6時(shí)，求A、B、C中有兩位同學(xué)評(píng)為三好學(xué)生的概率；
（2）求A、B、C中至少一位同學(xué)評(píng)為三好學(xué)生的概率的最大值．