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柳州市積極響應國家提高素質教育的戰(zhàn)略構想．某校對評三好學生進行全面改革，制定新的評定細則，按新的評定細則，A、B、C三同學評為三好學生的概率分別為x、
1
2
x、
2
3
x（其中0≤x≤1）．
（1）當x=0.6時，求A、B、C中有兩位同學評為三好學生的概率；
（2）求A、B、C中至少一位同學評為三好學生的概率的最大值．
分析：（1）由題意可得P（A）=0.6，P（B）=0.3，P（C）=0.4．由此求得A、B、C中有兩位同學評為三好學生的概率
（2）根據p(x)=1-P(
.
A
)P(
.
B
)P(
.
C
)=
1
6
(2x3-9x2+13x)
，利用導數求得p（x）在[0，1]上增函數，故當x=1時，p（x）取得最大值為1．
解答：解：（1）設A同學被評為三好學生的概率為P（A），則由題意可得P（A）=0.6，
同理可得，P（B）=
1
2
P（A）=0.3，P（C）=
2
3
P（A）=0.4．
∴A、B、C中有兩位同學評為三好學生的概率
P=0.6×0.3×（1-0.4）+0.6×（1-0.3）×0.4+（1-0.6）×0.3×0.4=0.108+0.168+0.048=0.324．
（2）p(x)=1-P(
.
A
)P(
.
B
)P(
.
C
) 
=1-(1-x)(1-
1
2
x)(1-
2
3
x)
=
1
6
(2x3-9x2+13x)
．
令P′(x)=
1
6
(6x2-18x+13)=0，解得x=
9±
3
6
，故有0≤x≤1＜
9-
3
6
．
∴p（x）在[0，1]上，p'（x）＞0，即 p（x）在[0，1]上增函數，
∴當x=1時，p（x）取得最大值為1．
點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應用，互斥事件的概率加法公式，利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•安慶三模）選聘高校畢業(yè)生到村任職，是黨中央作出的一項重大決策，這對培養(yǎng)社會主義新農村建設帶頭人、引導高校畢業(yè)生面向基層就業(yè)創(chuàng)業(yè)，具有重大意義．為了響應國家號召，某大學決定從符合條件的6名（其中男生4人，女生2人）報名大學生中選擇3人，到某村參加村委會主任應聘考核．
（Ⅰ）設所選3人中女生人數為ξ，求ξ的分布列及數學期望；
（Ⅱ）在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2013年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用t（t≥0）萬元滿足x=4-
k2t+1
（k為常數）．如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件．已知2013年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分）．
（1）將該廠家2013年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數；
（2）該廠家2013年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大？

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科目：高中數學 來源： 題型：

節(jié)能減排，低碳經濟”是我國未來發(fā)展的方向，某汽車生產商生產有大、中、小三種排量的轎車，正常情況下的小排量的轎車占生產總量的30%，為了積極響應國家的號召，滿足大眾的消費需求準備將小排量轎車的生產量提高，受其產量結構調整的影響，大中排量汽車生產量只有正常情況下的90%，但生產總量比原來提高了7.5%，則小排量轎車生產量應比正常情況增加
 
．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年廣州市七區(qū)聯考高二數學（文）下學期期末監(jiān)測 題型：解答題

（本小題滿分14分）

為積極響應國家“家電下鄉(xiāng)”政策的號召，某廠家把總價值為10萬元的A、B兩種型號的電視機投放市場，并且全部被農民購買。若投放的A、B兩種型號的電視機價值都不低于1萬元，農民購買A、B兩種型號的電視機將按電視機價值的一定比例給予補貼，補貼方案如下表所示，設投放市場的A、B型號電視機的價值分別為萬元,萬元，農民得到的補貼為萬元,解答以下問題.

 

A型號

B型號

電視機價值(萬元)

農民獲得補貼(萬元)

 

(1) 用的代數式表示

(2) 當取何值時, 取最大值并求出其最大值（精確到0.1，參考數據：）

 

 

 

 

 

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