（本小題12分）
如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點(diǎn).
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求cos< >的值；
]                  （3）求證：A₁B⊥C₁M.

（本小題12分）

如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點(diǎn).

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求cos< >的值；

]                   （3）求證：A₁B⊥C₁M.

（本小題12分）

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長(zhǎng)線上，N在AD的延長(zhǎng)線上，且對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn)。已知AB=3米，AD=2米。設(shè)（單位：米），若（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長(zhǎng)度分別是多少時(shí)，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。

（本小題12分）如圖所示，三棱柱A₁B₁C₁—ABC的三視圖中，正(主)視圖和側(cè)(左)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點(diǎn)M是A₁B₁的中點(diǎn)．

(1)求證：B₁C∥平面AC₁M；

(2)求證：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

（本小題12分）

如圖所示，港口B在港口O正東方向120海里處，小島C在港口O北偏東60°方向、港口B北偏西30°方向上。一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30°的OA方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口O，一艘快艇從港口B出發(fā)，以60海里/小時(shí)的速度駛向小島C，在C島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船送去，現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給物資的裝船時(shí)間要1小時(shí)，問(wèn)快艇駛離港口B后最少要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)才能和考察船相遇？