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專題七《圓》

●中考點擊

考點分析：

內容

要求

1、圓、等圓、等弧等概念及圓的對稱性，點和圓的位置關系以及其有關概念

Ⅰ

2、弧、弦、圓心角、弦心距四者之間的關系，能根據具體條件確定這四者之間的關系

Ⅱ

3、圓的性質及圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征，靈活運用圓周角的知識進行有關的推理論證及計算

Ⅱ

4、垂徑定理的應用及逆定理的應用，會添加與之相關的輔助線

Ⅱ

5、圓與三角形和圓內接四邊形的知識及綜合運用

Ⅱ

命題預測：本專題主要考查圓的重要性質以及和圓有關的角、線段、環(huán)長和面積的計算，另外也會考查圓與勾股定理、相似三角形知識的綜合應用．其中，點和圓、直線和圓的位置關系的判斷以及和圓有關的簡單計算一般以選擇填空題形式考查；有關圓與圖形的相似、三角函數(shù)、函數(shù)等知識的綜合應用一般是以證明、閱讀理解、探索存在等解答題的形式考查．

從2005和2006年各地區(qū)中考試題中有關圓的考查內容占分比例分析，課改區(qū)一般占到10%左右，而非課改區(qū)以往對這一部分較為看重，前幾年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不難看出正逐步向課改區(qū)靠攏，而且難度也有所降低．預測2008年中考這部分內容的考查會更加貼近生活，重視實用，同時強調基礎，突出能力的考查．

●難題透視

例1如圖7-1，在中，弦平行于弦，若，則____度．

【考點要求】本題主要考查圓中圓心角與圓周角之間的關系．

6ec8aac122bd4f6e 【思路點拔】∵∠B=∠AOC，

∴∠B=40°

∵AD∥BC

∴∠B =40°

【答案】填：40

【方法點撥】本題部分學生不能很快發(fā)現(xiàn)所求角與已知角之間的關系．突破方法：抓住題中的所在條件，如本題中的兩條弦平行，由此可將∠DAB轉化為∠ABC，然后再利用圓周角與圓心的角關系求解．

解題關鍵：本題要求學生要熟悉同弧所對的圓周角與圓心角之間的關系，即同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，同時還要根據平行線的性質進行解題．

例2如圖8-2，AB是的⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，則∠BCD=（）

A．100⁰ B．110⁰ C．120⁰ D．135⁰

【考點要求】本題考查了圓中弧、弦、圓心（周）角之間的關系，以及直徑所對的弧是半圓等基本知識．

6ec8aac122bd4f6e 【思路點拔】∵AB是的⊙O的直徑

∴度數(shù)是180⁰

∵BC=CD=DA

∴==

∵∠BCD==120⁰

【答案】選填C

【方法點撥】本題要求學生要能比較熟悉圓中的弧、弦和圓心角之間的有關系，即同圓中相等的弦所對的弧相等，所對的圓心角也相等，同時還要知道直徑是圓的一條特殊的弦，其所對的圓心角等于180°，以及圓心角與圓周角之間的關系，綜合運用這些知識，容易理解要求某個圓周角，只需求得其所對的弧的度數(shù)．

6ec8aac122bd4f6e 例3已知：AB和CD為⊙O的兩條平行弦，⊙O的半徑為5cm，AB=8cm，CD=6cm，求AB、CD間的距離是．

【考點要求】本題考查圓中弦、弦心距等與弦有關的計算問題．

【思路點拔】由于圓內的的兩條弦均小于圓的直徑，因此可確定出圓中的兩條平行弦的位置關系有兩種：一是位于圓心的同側；二是位于圓心的異側．如圖8-3：過O作EF⊥AB，分別交AB、CD于E、F，則AE=4┩，CF=3┩，由勾股定理可求出OE=3┩，OF=4┩．故當AB、CD在圓心異側時，距離為7┩，在圓心同側時，距離為1┩．

【答案】填：7┩或1┩

【方法點撥】本題難點有兩個：一是有不少學生容易只考慮其中的一種情形，而忽視另一情形；二是輔助線的添加．突破方法：一般幾何填空題中，如果不配圖，在自己作圖時，應全面考慮各種可能情況．圓中與弦有關的計算或證明問題，往往需要連結半徑和弦心距，以構造直角三角形，從而應用勾股定理進行計算．

6ec8aac122bd4f6e 例4用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．

某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖7-5圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

6ec8aac122bd4f6e （1）請你補全這個輸水管道的圓形截面；

（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．

【考點要求】本題考查圓內心的確定，及與弦有關計算問題，同時考查學生動手操作圖形的能力和利用基本知識解決簡單問題的能力．

【思路點拔】（1）正確作出圖形，如圖7-6并做答．

（2）過O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，

∵OC⊥AB ， ∴BD＝AB＝×16＝8cm．

由題意可知，CD＝4cm．

設半徑為x cm，則OD＝（x－4）cm．

在Rt△BOD 中，由勾股定理得：

OD²＋BD²＝OB²， ∴( x－4)²＋8²＝x²．

∴x＝10．

【答案】這個圓形截面的半徑為10cm．

【方法點撥】這是一道作圖與解答相結合的中考題，部分學生不會補全整個圓面或者補全之后不知如何進行計算．突破方法：補全圓面的關鍵在于確定圓心，然后再利用勾股定理進行計算．

解題關鍵：確定圓心時，主要根據圓的定義，取弧上的兩條弦，作出兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心，然后連結半徑構造直角三角形．

例5如圖7-7，有一木制圓形臉譜工藝品，H、T兩點為臉譜的耳朵，打算在工藝品反面兩耳連線中點D處打一小孔．現(xiàn)在只有一塊無刻度單位的直角三角板（斜邊大于工藝品的直徑），請你用兩種不同的方法確定點D的位置（畫出圖形表示），并且分別說明理由．

6ec8aac122bd4f6e

【考點要求】本題考查線段垂直平分線知識，通過對圓中弦的中點的確定，考查學生綜合運用知識的能力．

【思路點拔】方法一：畫弦的垂直平分線常用的依據是根據垂徑定理，如圖7-8中，圖①，畫TH的垂線L交TH于D，則點D就是TH的中點．

方法二：利用全等三角形，如圖②，分別過點T、H畫HC⊥TO，TE⊥HO，HC與TE相交于點F，過點O、F畫直線L交HT于點D，由畫圖知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT，所以點O、F在HT的中垂線上，所以HD=TD了，則點D就是HT的中點．

6ec8aac122bd4f6e 方法三：如圖③，（原理同方法二）

【答案】見圖．

【方法點撥】這一道題有一定的開放性，題目中只提供了一塊無刻度單位的直角三角板（斜邊大于工藝品的直徑），工具的限至使用學生思維不易完全打開．突破方法：充分利用三角板直角，可畫垂直線段，從而能夠根據垂徑定理或者構造全等的直角三角形來確定弦的中點．

6ec8aac122bd4f6e 例6如圖7-9，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC交⊙O與點F．

（1）AB與AC的大小有什么關系?為什么?

（2）按角的大小分類，請你判斷△ABC屬于哪一類三角形，并說明理由．

【考點要求】本題考查與圓有關的性質在三角中的應用．

【思路點拔】（1）（方法1）連接DO ，∵OD是△ABC的中位線，

∴DO∥CA，∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO ，∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC

（方法2）連接AD， ∵AB是⊙O的直徑，∴AO⊥BC，

∵BD＝CD，∴AB＝AC

（方法3）連接DO∵OD是△ABC的中位線，∴OD=AC ，OB=OD=AB，∴AB=AC

（2）連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°

∴∠B＜∠ACB＝90°．∠C＜∠ACB＝90°．∴∠B、∠C為銳角

∵AC和⊙O交于點F，連接BF，

∴∠A＜∠BFC＝90°．∴△ABC為銳角三角形

【答案】（1）AB＝AC；（2）△ABC為銳角三角形

【方法點撥】部分學生第（1）題會做出判斷，但不知如何證明，而第（2）題又容易將問題結果簡單、特殊化，易錯誤的判斷為等邊三角形．突破方法：判斷或證明線段的大小關系時，一般結論是相等，在同一個三角形中可根據等角對等邊證明，如果在兩個三角形中，往往會根據三角形全等證明，同時還要看清題目要求，如本題就是要求按角的大小分類進行判斷，而不是邊的大小關系．

解題關鍵：證明同一個三角形中的兩邊相等，一般根據等角對等邊進行證明．

6ec8aac122bd4f6e 例7如圖7-13，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H．

（1）求證：AH ?AB=AC²；

（2）若過A的直線與弦CD（不含端點）相交于點E，與⊙O相交于點F，求證：AE?AF=AC²；

（3）若過A的直線與直線CD相交于點P，與⊙O相交于點Q，判斷AP?AQ=AC²是否成立(不必證明)．

【考點要求】本題考查與圓有關的三角形相似問題，是一道幾何綜合證明題．

【思路點拔】（1）連結CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC ．

∴，即AH?AB=AC² ．

（2）連結FB，易證△AHE∽△AFB，

∴ AE?AF=AH?AB，

∴ AE?AF=AC² ．

(也可連結CF，證△AEC∽△ACF)

（3）結論AP?AQ=AC²成立．

【答案】（3）結論AP?AQ=AC²成立．

【規(guī)律總結】等積式的證明往往要轉化為比例式進行，部分學生不知改寫為何種比例式比較合適．突破方法：把等積式轉化為比例式時，要結合圖形書寫，如證明AH ?AB=AC²時，可將其先轉化為，然后從比例式中對應邊的比容易看出證明的目標為△CAH∽△BAC，從而使得解題變得有的放矢．

解題關鍵：證明圓中的等積式或比例式問題時，往往會利用三角形的相似，因為圓中容易證明角相等．

●難點突破方法總結

在求解有關圓的中考試題，尤其是難題時，應盡量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把題目由繁化簡，變難為易．歸納下來，有這樣幾個方面值得考生們注意：

1.掌握解題的關鍵點．（1）有直徑，常作其所對的圓周角；（2）有切線，常將切點與圓心連結起來；（3）有關弦的問題，常需作弦心距．聯(lián)系垂徑定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究兩圓位置關系時，常作公切線和連心線；（5）有關切線的判定問題，根據題目條件，主要是兩條思路，連半徑證明垂直，或者是作垂直證明半徑．

2.重視基本定理與基本圖形相結合，計算與推理相結合，靈活運用各種方法．

3.重視數(shù)學思想方法的應用．運用分析法、演繹法、截補法，結合方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想解有關圓的應用題，探索開放性題和方案設計．

●拓展演練

一、選擇題

1．已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OP的中點，當OP=6cm，點A與⊙O的位置關系時（）

A．點A在⊙O內 B．點A在⊙O 上 C．點A在⊙O 外 D．不能確定

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