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專題二《方程與不等式》

●中考點擊

考點分析：

內(nèi)容

要求

1、方程的解、解方程及各種方程（組）的有關(guān)概念

Ⅰ

2、一元一次方程及其解法和應(yīng)用；二元一次方程組及其解法和應(yīng)用

Ⅱ

3、用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程

Ⅱ

4、可化為一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用

Ⅱ

5、一元二次方程根的判別式及應(yīng)用

Ⅰ

6、不等式（組）及解集的有關(guān)概念，會用數(shù)軸表示不等式（組）的解集

Ⅰ

7、不等式的基本性質(zhì)

Ⅱ

8、一元一次不等式（組）的解法及應(yīng)用

Ⅱ

命題預(yù)測：方程與方程組始終是中考命題的重點內(nèi)容，近幾年全國各地的中考試題中，考查方程和方程組的分值平均占到25%，試卷涉及的主要考點有方程和方程組的解法；一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的簡單運用；列方程和方程組解應(yīng)用題三大類問題．其中列一元一次方程求解商品利潤問題以選擇題為主；一元二次方程的解法以選擇題和解答題為主；根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系以選擇題和解答題為主，但難度一般不大；列二元一次方程組解應(yīng)用題以解答題為主，主要考查解工程類、方案設(shè)計類及愉策類問題．結(jié)合2005－2006年的中考題不難看出，課改區(qū)對方程（組）的考題難度已經(jīng)有所降低，如根與系數(shù)關(guān)系的運用，課改區(qū)幾乎不再考查．

不等式與不等式組的分值一般占到5－8%左右，其常見形式有一元一次不等式（組）的解法，以選擇題和填空題為主，考查不等式的解法；不等式（組）解集的數(shù)軸表示及整數(shù)解問題，以選擇題和填空題為主；列不等式（組）解決方案設(shè)計問題和決策類問題，以解答題為主．近年試題顯示，不等式（組）的考查熱點是其應(yīng)用，即列不等式（組）求解實際生活中的常見問題．

由此可見，在方程（組）與不等式（組）這一專題中，命題趨勢將會是弱化純知識性的考題，而更加熱衷于數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用問題．

●難點透視

例1解方程：．

【考點要求】本題考查了分式方程的解法．

【思路點撥】去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解分式方程的基本方法，驗根只需將結(jié)果代入最簡公分母即可．

原方程變形為方程兩邊都乘以，去分母并整理得，解這個方程得．經(jīng)檢驗，是原方程的根，是原方程的增根．∴原方程的根是．

【答案】．

【方法點撥】部分學(xué)生在解分式方程時，往往不能拿到全部分?jǐn)?shù)，其中很多人是因為忘記檢驗．突破方法：牢牢記住分式方程必須驗根，檢驗這一步不可缺少．

例2

【考點要求】本題考查用消元法解二元二次方程組．

【思路點撥】解方程組的基本思路就是消元和降次，要根據(jù)方程組的特點選取適當(dāng)方法．

由方程①可得，

∴.它們與方程②分別組成兩個方程組：

解方程組可知，此方程組無解；

解方程組得

所以原方程組的解是

【答案】

【規(guī)律總結(jié)】少數(shù)學(xué)生未能掌握二元二次方程組的基本解題思路，不知如何處理．突破方法：將第一個方程通過因式分解，得到兩個一次方程，再分別與第二個方程組成兩個新的方程組，求解．

解題關(guān)鍵：解二元二次方程組的基本解題思想是消元，即化二元為一元．常用的方法就是通過因式分解進行降次，再重新組成新的方程組求解，所求得的結(jié)果即為原方程組的解．

例3下列一元方程中，沒有實數(shù)根的是（）

A． B．

C． D．

【考點要求】本題考查一元二次方程根的判別式．

【思路點撥】根據(jù)，確定好選項方程中的各項的系數(shù)及常數(shù)項，代入根的判別式進行計算，如果所求結(jié)果非負，則有實數(shù)根；否則沒有實數(shù)根．

C選項中＜0，方程無實數(shù)根．

【答案】選C．

【錯解分析】出現(xiàn)錯誤的學(xué)生主要是兩原因：一是根的判斷式未能記牢，出現(xiàn)使用錯誤，二是在確定各項系數(shù)和常數(shù)項時，弄錯符號，導(dǎo)致計算錯誤．突破方法：將一元二次方程化為一般式后，再確定系數(shù)及常數(shù)項．

解題關(guān)鍵：根據(jù)可知，若二次項系數(shù)與常數(shù)項異號，則方程必有實數(shù)根，從而縮小解題范圍．

例4用換元法解分式方程時，如果設(shè)，那么原方程可化為關(guān)于y的一元二次方程的一般形式是．

【考點要求】本題考查利用換元法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．

【思路點撥】整體代換（換元法）也是我們解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次簡化運算的作用．

把代入原方程得，，即，故答案應(yīng)填寫．

【答案】．

【方法點撥】整體換元要求原方程具備一定結(jié)構(gòu)特點，如果不具備，必須設(shè)法通過變形化出相同或者相關(guān)的形式再進行換元．

例5若不等式組的正整數(shù)解只有2，求的整數(shù)值．

【考點要求】本題考查解不等式組及不等式組的解集等知識的綜合運用．

要求的值，可先求出不等式組中的各不等式的解集，再根據(jù)不等式組的正整數(shù)解只有2，列出關(guān)于的不等式組，進而求出的值．

，解得．

又∵原不等式組只有正整數(shù)解2．

由右圖，應(yīng)有．

∴∴

【答案】

【誤區(qū)警示】部分學(xué)生解出不等式組的解集后，不知如何運用“正整數(shù)解只有2”這一條件．突破方法：用含a的代數(shù)式表示不等式組的解集，結(jié)合數(shù)軸表示出不等式組的解集，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組，求出a的值．

例6如圖甲是某學(xué)校存放學(xué)生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖所示），車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形．圖乙是車棚頂部截面的示意圖，弧AB所在圓的圓心為O．

車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計算結(jié)果保留）．

6ec8aac122bd4f6e

【考點要求】本題考查用方程解幾何問題，方程是解決幾何有關(guān)計算問題的有效的方法和工具，通常結(jié)合勾股定理的形式出現(xiàn)．

【思路點撥】連結(jié)OB，過點O作OE⊥AB，垂足為E，交弧AB于F，如圖．

6ec8aac122bd4f6e 由垂徑定理，可知：E是AB中點，F是弧AB中點，

∴EF是弓形高 ∴AE=2，EF=2．

設(shè)半徑為R米，則OE=(R－2)米．

在Rt△AOE中，由勾股定理，得 R ²=．解得R =4．

∵sin∠AOE=， ∴ ∠AOE=60°，

∴∠AOB=120°． ∴弧AB的長為=．

∴帆布的面積為 ×60=160（平方米）．

【答案】160（平方米）．

【方法點撥】部分學(xué)生遇此問題，不能將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．突破方法：聯(lián)系實際，將車棚頂部展開得長方形，其長為車棚長，寬為弧AB長．

解題關(guān)鍵：在利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，要善于把實際問題與數(shù)學(xué)中的理論知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題．

例7已知方程組的解x、y滿足2x+y≥0，則m的取值范圍是（）

A．m≥－ B．m≥ C．m≥1 D．－≤m≤1

【考點要求】本題考查方程（組）與不等式的綜合問題，此類題型常用的方法是可把看作已知數(shù)，用它來表示其余未知數(shù)．

【思路點撥】由題意，可求出，代入2x+y≥0，解得m≥－．或者也可整體求值，把第(2)式乘以4減去第(1)式直接得，得，解得m≥－．

【答案】選A．

【方法點撥】本題一般做法是把m看作是已知系數(shù)，用含m的代數(shù)式表示x、y，解出方程組的解，然后再把所求的x、y的值入題目中的不等式，從而得到只含m的不等式，求出解集．或者也可以依據(jù)題目條件的特點，從整體考慮，直接進行整理得到與不等式相關(guān)的代數(shù)式，進行求解．

例8根據(jù)對話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價各是多少元？

【考點要求】本題考查方程在實際情境中的運用，結(jié)合現(xiàn)實問題情景,需把方程和不等式有關(guān)內(nèi)容有機結(jié)合起來,求出整數(shù)解.

【思路點撥】設(shè)餅干的標(biāo)價每盒x元，牛奶的標(biāo)價為每袋y元，

6ec8aac122bd4f6e 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由②得y=9.2－0.9x ④

把④代入①，得x+9.2－0.9x＞10 ∴ x ＞8

由③得8＜x＜10 ∵x是整數(shù) ∴x=9

將x=9代入④，得y=9.2－0.9×9=1.1

【答案】餅干一盒標(biāo)價9元，一袋牛奶標(biāo)價1.1元．

【方法點撥】部分學(xué)生不習(xí)慣這種情境題，不能很好地從情景對話中找出有用的信息來．突破方法：因為題目中的條件只是兩人對話，因此要緊緊圍繞兩人的對話進行分析，綜合各數(shù)據(jù)列出不等式組求解．

解題關(guān)鍵：情境題中的條件一般不會很多，但每一句話都可能給出重要信息，因此要仔細閱讀分析．

例9某商場計劃撥款9萬元從廠家購買50臺電視機，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機的出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元，商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售乙種電視機每臺可獲利200元，銷售丙種電視機每臺可獲利250元．

(1)若同時購進其中兩種不同型號電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案；

(2)經(jīng)市場調(diào)查這三種型號的電視機是最受歡迎的，且銷售量乙種是丙種的3倍．商場要求成本不能超過計劃撥款數(shù)額，利潤不能少于8500元的前提，購進這三種型號的電視機共50臺，請你設(shè)計這三種不同型號的電視機各進多少臺？

【考點要求】本題考查方程（組）在實際生活中的應(yīng)用．

【思路點撥】在市場經(jīng)濟大環(huán)境背景下,用數(shù)學(xué)知識確定價格,預(yù)計利潤,是中考應(yīng)用性問題的常見題型.我們通過運用數(shù)學(xué)知識能夠避免盲目的投資,創(chuàng)造最大的經(jīng)濟.

（1）(Ⅰ)設(shè)甲種電視機臺,乙種電視機臺.

則,解得

(Ⅱ)設(shè)甲種電視機臺,丙種電視機臺.

則,解得

（Ⅲ)設(shè)乙種電視機臺,丙種電視機臺.

則,解得 (舍去)

(2)設(shè)甲種電視機臺,乙種電視機臺,丙種電視機臺.

由題意得

解得: ∴

∴ 進貨方案有:①甲、乙、丙各為34臺、12臺和4臺；

②甲、乙、丙各為30臺、15臺和5臺；

商場的利潤為①（元）

②（元）

∴ 要是商場獲利最大，則進貨方案為甲、乙、丙各為30臺、15臺和5臺；

【答案】（1）方案一：甲種電視機25臺，乙種電視機25臺，方案二：甲種電視機35臺，乙種電視機15臺；（2）要是商場獲利最大，則進貨方案為甲、乙、丙各為30臺、15臺和5臺．

【方法點撥】部分學(xué)生完成此題時，解題不能完整．突破方法：本題以現(xiàn)實問題為背景，以方案設(shè)計為主題，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想.

例10某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，共50件．已知生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克；生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克．

（1）據(jù)現(xiàn)有條件安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請你設(shè)計出來．

（2）若甲種原料每千克80元，乙種原料每千克120元，怎樣設(shè)計成本最低．

【考點要求】本題考查運用不等式知識解決實際生活和生產(chǎn)中的問題，不僅考查學(xué)生對知識的掌握，靈活運用知識的解題的能力，同時考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力．

【思路點撥】（1）設(shè)生產(chǎn)種產(chǎn)品件，種產(chǎn)品件．按這樣生產(chǎn)需甲種的原料，∴即：．∵為整數(shù)，∴∴有三種生產(chǎn)方案．

第一種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，種產(chǎn)品20件；

第二種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品31件，種產(chǎn)品19件；

第三種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，種產(chǎn)品18件．

（2）第一種方案的成本：（元）．

第二種方案的成本：（元）．

第三種方案的成本：（元）．

∴第三種方案成本最低．

【答案】（1）第一種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，種產(chǎn)品20件；

第二種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品31件，種產(chǎn)品19件；

第三種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，種產(chǎn)品18件．

（2）第三種方案成本最低．

【方法點撥】解決本題的關(guān)鍵在于找出生產(chǎn)種產(chǎn)品和種產(chǎn)品分別甲種原料和乙種原料的數(shù)量，再根據(jù)廠里現(xiàn)有甲乙兩種原料的數(shù)量列出不等式組，解不等式組得出結(jié)果可得三種生產(chǎn)方案．再根據(jù)三種不同方案，求出最低成本．

●難點突破方法總結(jié)

方程（組）及方程（組）的應(yīng)用問題是中考命題的重點，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力，題型內(nèi)容貼近生活實際，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，在解題時應(yīng)注意以下問題：

1.正確理解和掌握方程與方程組的相關(guān)概念，性質(zhì)，結(jié)論和方法，這是解決有關(guān)方程與方程組問題的前提．

2.用化歸思想求解二元一次方程組，可化為一元一次方程和一元二次方程的分式方程．

3.熟練掌握用換元法解方程及方程組．

4.關(guān)注社會，積累生活經(jīng)驗，通過閱讀、觀察、比較、分析、歸納、綜合等方法解決與生產(chǎn)、生活密切相關(guān)的社會熱點問題．

●拓展演練

一、填空題

1．“某數(shù)與 6 的和的一半等于 12”，設(shè)某數(shù)為 x，則可列方程_________．

練習(xí)冊

高中

初中

小學(xué)