江蘇省江寧高級中學2009屆高三迎一模聯(lián)考

數(shù)學試題

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應位置）

1．命題“”的否定是    ★    ．

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2．已知復數(shù)，（是虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實數(shù)＝__★_

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3．直線x＋ay＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行的充要條件是__★

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4. 執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的   ★    ．

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5．已知點A、B、C滿足，，，則的值是_____★________.

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6．若直線過點，則以坐標原點為圓心，長為半徑的圓的面積的最小值是       ★         ．

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7．已知拋物線的準線與雙曲線的左準線重合，則拋物線的焦點坐標為     ★      .

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8．分別在區(qū)間[1,6]和[2,4]內(nèi)任取一實數(shù)，依次記為m和n，則的概率為       ★   

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9．設等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=__★_

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10．已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_★_

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11．已知、是橢圓+=1的左右焦點，弦過F1，若的周長為，則橢圓的離心率為    ★    ．

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12．實數(shù)滿足，且，則      ★     

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13．已知一個正三棱錐P－ABC的主視圖如圖所示，若AC＝BC＝，PC＝，則此正三棱錐的全面積為_____★____

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14．已知命題：“在等差數(shù)列中，若，則為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為_★___

 

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二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15．在△ABC中，分別是角A，B，C的對邊，，．

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（Ⅰ）求角的值;

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（Ⅱ）若，求△ABC面積．

 

 

 

 

 

 

 

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16．在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；

（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求證CE∥平面PAB．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17．已知數(shù)列的前n項和為，且．

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（Ⅰ）求數(shù)列通項公式；

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（Ⅱ）若，，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項和．

 

 

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18．經(jīng)市場調(diào)查，某超市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數(shù)，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t（件），價格近似滿足（元）．

（Ⅰ）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)表達式；

（Ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

 

 

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19. 已知⊙過點,且與⊙:關于直線對稱.

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（Ⅰ）求⊙的方程；

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（Ⅱ）設為⊙上的一個動點,求的最小值；

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（Ⅲ）過點作兩條相異直線分別與⊙相交于,且直線和直線的傾斜角互補,　為坐標原點,試判斷直線和是否平行?請說明理由.

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20．已知函數(shù)圖象上一點P（2，f(2)）處的切線方程為．

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（Ⅰ）求的值；

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（Ⅱ）若方程在內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然

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對數(shù)的底，）；

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（Ⅲ）令，如果圖象與軸交于，AB中點為，求證：．

 

 

 

 

 

江蘇省江寧高級中學2009屆高三迎一模聯(lián)考

數(shù)學試題（附加題）

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21．選修4―2　矩陣與變換

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已知矩陣，求特征值λ1，λ2及對應的特征向量α1，α2．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．已知直線和圓，判斷直線和圓的位置關系．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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23．如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，⊥平面ABCD，且，，點E是AB上一點，AE等于何值時，二面角的平面角為．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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24．已知方程為常數(shù)。

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（Ⅰ）若，，求方程的解的個數(shù)的期望；

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（Ⅱ）若內(nèi)等可能取值，求此方程有實根的概率．

 

 

 

 

江蘇省江寧高級中學2009屆高三迎一模聯(lián)考

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1．    2．     3．a(chǎn)＝－2．     4.    5．    6．  

7．       8．     9．  10．     11．   12．0   13．    14．18

 

15．解：（Ⅰ）由得，，         3分

，                      5分

又，∴  。                                     7分

（Ⅱ）由可得，，                    9分

由得，,                                    12分

所以，△ABC面積是                              14分

 

 

17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴SABCD＝

．……………… 3分

則V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點，

∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．       ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

（Ⅲ）證法一：

取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．   ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．  ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

證法二：

延長DC、AB，設它們交于點N，連PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C為ND的中點．         ……12分

∵E為PD中點，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

 

 

17．解：（Ⅰ）n≥2時，．     ………………… 4分

n＝1時，，適合上式，

∴．               ………………… 5分

（Ⅱ），．          ………………… 8分

即．

∴數(shù)列是首項為4、公比為2的等比數(shù)列．   ………………… 10分

，∴．……………… 12分

Tn＝＝．            ………………… 14分

18．解：（Ⅰ） …… 4分

＝                        …………………… 8分

 

 

 

 

（Ⅱ）當0≤t＜10時，y的取值范圍是[1200，1225]，

在t＝5時，y取得最大值為1225；               …………………… 11分

當10≤t≤20時，y的取值范圍是[600，1200]，

在t＝20時，y取得最小值為600．               …………………… 14分

（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；

第20天，日銷售額y取得最小為600元．         …………………… 15分

 

 

 

19. 解:(Ⅰ)設圓心,則,解得…………………(3分)

則圓的方程為,將點的坐標代入得,故圓的方程為

…………(5分)

(Ⅱ)設,則,且…………………(7分)

==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)

…………(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設,

,由,得

……………………(11分)

  因為點的橫坐標一定是該方程的解,故可得………………………

(13分)

  同理,,所以=

  所以,直線和一定平行…………………………………………………………………(15分)

20．解：（Ⅰ），，．

∴，且．    …………………… 2分

解得a＝2，b＝1．                           …………………… 4分

（Ⅱ），令，

則，令，得x＝1（x＝－1舍去）．

在內(nèi)，當x∈時，，∴h(x)是增函數(shù)；

當x∈時，，∴h(x)是減函數(shù)．     …………………… 7分

則方程在內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是……10分

即．                                               …………………… 12分

（Ⅲ），．

假設結論成立，則有

①－②，得．

∴．

由④得，

∴．即．

即．⑤                              …………………… 14分

令，（0＜t＜1)，

則＞0．∴在0＜t＜1上增函數(shù)．

，∴⑤式不成立，與假設矛盾．

∴．                     ……………………………16

 


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