江蘇省泰興市第四高級中學高三第二學期第三次月考

    數(shù)學試卷  2009.03.05

A．必做題部分

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．已知全集，集合，，

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那么集合__________。

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2..雙曲線的一條準線恰好與圓x2+y2+2x=0相切，則雙曲線的離心率為_________

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3.某中學有高一學生400人，高二學生300人，高三學生300人，現(xiàn)通過分層抽樣抽取一個樣本容量為n的樣本，已知每個學生被抽到的概率為0.2，則n=___________.

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4. 按如右圖所示的流程圖運算,若輸入，則輸出 _________

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5．已知變量滿足約束條件則的取值范圍是____________

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6．已知的頂點A為（3，－1），AB邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，則BC邊所在直線的方程為：___________________．　      

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7．若向量，且，則等于_______

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8．方程的零點個數(shù)是                      

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9．已知集合，，（可以等于)，從集合中任取一元素，則該元素的模為的概率為______________。

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學科網(wǎng)(Zxxk.Com)10.如圖，在△ABC中，己知AB＝2，BC＝3，于H，M為AH的中點，若則          .

 

 

 

 

 

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11．如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標分別對應(yīng)數(shù)列的前12項，如下表所示：

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學科網(wǎng)(Zxxk.Com)學科網(wǎng)

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學科網(wǎng)(Zxxk.Com)按如此規(guī)律下去，則__________

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12．已知二次函數(shù)的值域為，則的最小值為__________

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13．對于函數(shù)（），若存在閉區(qū)間

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，使得對任意，恒有=（為實常數(shù)），則實數(shù)的值為         ．

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14．設(shè)為數(shù)列的前項之和.若不等式對任何等差數(shù)列及任何正整數(shù)恒成立，則的最大值為 ：__________                                  學科網(wǎng)(Zxxk.Com)學科網(wǎng)

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二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記∠CAD=,∠ABC=.

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(Ⅰ)．證明 ;

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（Ⅱ）．若AC=DC,求的值.

 

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16．如圖，在三棱錐P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F(xiàn)為PC上的一點，且PF:FC=3:1．

（Ⅰ）求證：PA⊥BC；

（Ⅱ）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；

（Ⅲ）求三棱錐P-ABC的體積．

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        17．已知某類學習任務(wù)的掌握程度與學習時間（單位時間）之間的關(guān)系為
        

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        ，這里我們稱這一函數(shù)關(guān)系為“學習曲線”．已知這類學習任務(wù)中的某項任務(wù)有如下兩組數(shù)據(jù)：．
        

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        （1）試確定該項學習任務(wù)的“學習曲線”的關(guān)系式；
        

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        （2）若定義在區(qū)間上的平均學習效率為，問這項學習任務(wù)從哪一刻開始的2個單位時間內(nèi)平均學習效率最高．
         
         
        

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        18．（本小題滿分14分）已知橢圓兩焦點分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點.   （1）求P點坐標；                               

        （2）求證直線AB的斜率為定值；    
        （3）求△PAB面積的最大值。
         
         
         
         
        

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        19．已知點列順次為直線上的點，點列順次為軸上的點，其中，對任意的，點、、構(gòu)成以為頂點的等腰三角形。
        

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        （1）證明:數(shù)列是等差數(shù)列；
        

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        （2）求證:對任意的，是常數(shù)，并求數(shù)列的通項公式；
        

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        （3）若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出實數(shù)
         
         
         
         
         
         
         
         
        

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        20、已知函數(shù)f(x)=2x+alnx. 
        

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        (1)  若f(x)在[1，+)上為增函數(shù)，求a的范圍
        

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        (2)  若a<0，對于任意兩個正數(shù)x1、x2總有：
        

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        (3)  若存在x[1,e]，使不等式f(x)(a+3)x―x2成立，求實數(shù)a的取值范圍
         
         
         
        B．附加題部分
        

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        21．（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
        A．選修4－1（幾何證明選講）
        

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        如圖，ABCD是邊長為的正方體，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O交于點P，延長CP交AB于M.求證：（1）M是AB的中點；（2）求線段BP的長。
        

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        B．選修4－2（矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值及對應(yīng)的一個特征向量，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點變換成, 求矩陣M.
        

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        C．選修4－4（坐標系與參數(shù)方程）求直線（）被曲線所截的弦長.
        

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        D．選修4－5（不等式選講）已知為正數(shù)，且滿足，
        

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        求證：．
        

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        22．（必做題）甲從裝有編號為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一張，乙從裝有編號為2，4的卡片的箱子中任意取一張，用，分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字.
        

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        （1）求概率）；
        

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        （2）記，求的分布列與數(shù)學期望.
         
        

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        23．（必做題）已知正項數(shù)列中，對于一切的均有成立。
        

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        （1）證明：數(shù)列中的任意一項都小于1；
        

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        （2）探究與的大小，并證明你的結(jié)論。
         
        泰興市第四高級中學高三第二學期第三次月考
        

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        1．；   2.   2.   3.200   4. 3      5．  6.     7． 
        8．6  9．；  10.    11.1005    12.4    13.  1    14．
        15．解： (1)．如圖，，
            　　即．
           （2）．在中，由正弦定理得
        　　　　由(1)得，
        　　　　即．
        　　　　
        16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5， 
                ∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
              
同理可得 
               ∵，∴
              ∵平面ABC，∴PA⊥BC.  
        (Ⅱ) 
如圖所示取PC的中點G，
        連結(jié)AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點 
             
又D、E分別為BC、AC的中點，
        ∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分  
              ∴面ABG∥面DEF           

        即PC上的中點G為所求的點                 
…………… 9分
        (Ⅲ) 
        17．解：（1）由題意得，   
        整理得，解得，  
        所以“學習曲線”的關(guān)系式為．  
        （2）設(shè)從第個單位時間起的2個單位時間內(nèi)的平均學習效率為，則
          
        令，則，   
        顯然當，即時，最大，  
        將代入，得，
        所以，在從第3個單位時間起的2個單位時間內(nèi)的平均學習效率最高． 
        18. 解：（1）由題可得，，設(shè)
        則，，……………………2分
        ∴，∵點在曲線上，則，∴，從而，得.則點P的坐標為. ……………………5分
        （2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，………6分
        則BP的直線方程為：.由得 ，設(shè)，則，
        同理可得，則，. ………………9分
        所以：AB的斜率為定值. ………………10分
        （3）設(shè)AB的直線方程：.
        由，得，
        由，得
        P到AB的距離為，………………12分
        則 
        。
        當且僅當取等號
        ∴三角形PAB面積的最大值為�！�14分
         
        19.解:
(1)依題意有,于是.
        所以數(shù)列是等差數(shù)列.                     
　　　　　　　　.4分
        (2)由題意得,即 , ()        
①
        所以又有.                       
②    
        由②①得：,　所以是常數(shù)．　　　　　　　
        由都是等差數(shù)列. 
        ，那么得    ,
        .    (    
        故                          
　　 1０分
        (3) 當為奇數(shù)時,,所以
        當為偶數(shù)時,所以   　　　　
        作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：.                 
　　　　　　　　　　　
        當為奇數(shù)時,有,即        ①
        ， 當時，. 不合題意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
        當為偶數(shù)時,有 ，,同理可求得  .
        ；；當時，不合題意．
        綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為
        ；；�。�16分
        20⑴當x≥1時，只需2+a≥0即a≥-2
        ⑵作差變形可得：
        =  (*)
        x1>0，x2>o  從而
        ∴l(xiāng)n,又a<0   ∴（*）式≥0
        即(當且僅當x1=x2時取“=”號)
         （3）可化為：
         x ∴l(xiāng)nx≤1≤x,因等號不能同時取到，∴l(xiāng)nx<x,lnx―x<0
        ∴a≥
        令, x ,
        =
         x,∴l(xiāng)nx―1―<0，且1―x≤0
        從而，,所以g(x)在x上遞增，從而=g(1)= ―
        由題設(shè)a≥―
        即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a
        21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可證MB=OC=AB
        （2）由△PMB∽△BMC，得,∴BP=
        B、設(shè)M=，則=8=，故
               =，故
        聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．
        C.求直線（）被曲線所截的弦長，將方程，分別化為普通方程：
        ，………(5分)
         D．解：由柯西不等式可得 
         
        22、解析：（1）記“”為事件A， （）的取值共有10種情況，…………1分
        滿足的（）的取值有以下4種情況：
        （3，2），（4，2），（5，2），（5，4），
        所以；
        （2）隨機變量的取值為2，3，4，5，的分布列是
        2
        3
        4
        5
        P
                      
…………10分
        所以的期望為
        23、解：（1）由得
        ∵在數(shù)列中，∴，∴
        故數(shù)列中的任意一項都小于1
        （2）由（1）知，那么，
        由此猜想：（n≥2）.下面用數(shù)學歸納法證明：
        ①當n=2時，顯然成立；
        ②當n=k時（k≥2,k∈N）時，假設(shè)猜想正確，即，
        那么，
        ∴當n=k+1時，猜想也正確
        綜上所述，對于一切，都有。
         
         
         
        
				
	
        
		
        


        同步練習冊答案
        


        


        






















	
        



        
	







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