例1、（2000年全國高考題）橢圓的焦點為FF，點P為其上的動點，當∠FP F為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是___。

解：F₁（－,0）F₂（,0）,設P（3cos,2sin）

為鈍角

∴  

     =9cos²－5＋4sin²=5 cos²－1<0

     解得：  ∴點P橫坐標的取值范圍是（）

點評：解決與角有關的一類問題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉化為向量的數(shù)量積為負值，通過坐標運算列出不等式，簡潔明了。

例2、已知定點A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)²+(y-4)²=4上的一動點，求的最大值和最小值。

分析：因為O為AB的中點，所以故可利用向量把問題轉化為求向量的最值。

解：設已知圓的圓心為C，由已知可得：

又由中點公式得

所以

             =

             =

             =

又因為 點P在圓(x-3)²+(y-4)²=4上,                                 

所以  且                                                                

所以

即  故

所以的最大值為100，最小值為20。

點評：有些解幾問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運用向量知識來解決，也會顯得自然、簡便，而且易入手。

例3、（2003年天津高考題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過△ABC的（  ）

（A）外心      （B）內(nèi)心     （C）重心     （D）垂心

分析：因為同向的單位向量，由向量加法的平行四邊形則知是與∠ABC的角平分線（射線）同向的一個向量，又，知P點的軌跡是∠ABC的角平分線，從而點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心。

反思：根據(jù)本題的結論，我們不難得到求一個角的平分線所在的直線方程的步驟；

（1）       由頂點坐標（含線段端點）或直線方程求得角兩邊的方向向量；

（2）       求出角平分線的方向向量

（3）       由點斜式或點向式得出角平分線方程。{直線的點向式方程：過P（），其方向向量為，其方程為}

例4、（2003年天津）已知常數(shù)，向量，經(jīng)過原點以為方向向量的直線與經(jīng)過定點以為方向向量的直線相交于點，其中．試問：是否存在兩個定點，使得為定值，若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

（本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.）

解：根據(jù)題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.

∵，  ∴=（λ，a），=（1，－2λa）.

因此，直線OP和AP的方程分別為   和 .

消去參數(shù)λ，得點的坐標滿足方程.

整理得  ……①       因為所以得：

（i）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

   （ii）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；

   （iii）當時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.

點評：本題以平面向量為載體，考查求軌跡的方法、利用方程判定曲線的性質、曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。去掉平面向量的背景，我們不難看到，本題即為下題：

在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）為兩個定點，另兩邊OP與AP的斜率分別是，求P的軌跡。

而課本上有一道習題（數(shù)學第二冊（上）第96頁練習題4）：

三角形ABC的兩個頂點A、B的坐標分別是（-6，0）、（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點C的軌跡方程。通過本例可見高考題目與課本的密切關系。

例5．（2004年天津卷理22）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（）的準線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.

  （1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設（），過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.

分析：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

（1）解：由題意，可設橢圓的方程為.

  由已知得解得

所以橢圓的方程為，離心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0）.

設直線PQ的方程為.由方程組

       得

依題意，得.

設，則，   ① .    ②

由直線PQ的方程得.于是

.    ③

∵，∴.    ④

由①②③④得，從而.

所以直線PQ的方程為或

（2）證明：.由已知得方程組

  注意，解得

因，故

.

而，所以.

由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考則突出了對向量與解析幾何結合考查，這就要求我們在平時的解析幾何教學與復習中，應抓住時機，有效地滲透向量有關知識，樹立應用向量的意識。應充分挖掘課本素材，在教學中從推導有關公式、定理，例題講解入手，讓學生去品位、去領悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會向量的工具性，逐漸形成應用向量的意識，在教學中還應注重引導學生善于運用一些問題的結論，加以引申，使之成為解題方法，體會向量解題的優(yōu)越性，在教學中還應注重引導學生善于運用向量方法解題，逐步樹立運用向量知識解題的意識。