1、矩陣的乘法：不滿足交換律，滿足結合律、分配律、0-1律

兩個二階矩陣的乘法結果為

2、一個二階非零矩陣存在逆矩陣的條件是ad-bc≠0（主對角線積與副對角線積的差不為0），此時^-1=

3、方程組的另外解法

（1）行列式法D＝，D_x＝，D_y＝，所以，方程組的解為

（2）矩陣表示為AX=B,這樣X=A^-1B

  4、M=，λ₁、λ₂為其一個特征值，對應的特征向量為、，則對于任意正整數(shù)n及， Mⁿ= aλ₁ⁿ+bλ₂ⁿ

二、應用

例1、A、B、C是三個城市交通情況，某人想從一個城市到另一城市，有幾種選擇；如果從一個城市出發(fā)，先經(jīng)過一個城市再到另一個城市，有幾種選擇？

解：(1)         M=

(2)N=

這種表示關系的圖形稱為網(wǎng)絡圖，其中交點稱為結點；對應的（1）反映直達交通情況的矩陣稱一級路矩陣；通過另一個點的矩陣稱為二極路矩陣，可以看出N=M²

練習1：有一個一級路矩陣，畫出其網(wǎng)絡圖（）

練習2：寫出七橋問題的一級路矩陣M和二級路矩陣N（一區(qū)域變?yōu)辄c，橋變?yōu)榫�）

（M=         N=）

  例2、密碼發(fā)送的流程圖如圖所示，其原理是：發(fā)送將要傳送的信息數(shù)字化后用一個矩陣X表示，在矩陣左邊乘一個雙方約定好的可逆方陣A，得到B=AX，即B為傳送出去的密碼。接受方接到密碼后，只需左乘A^-1，即可得到明文X=A^-1B。

以二階矩陣為例，先將英文字母數(shù)字化，讓a→1,……,z→26（具體發(fā)送時，個位數(shù)前加0，如1為01）先已發(fā)送密碼為07，13，39，67，雙方約定可逆矩陣密鑰為，試破解發(fā)送的密碼

解：令B=，則A=，AX=B，X=A^-1B==

即發(fā)送的明文為back

這里，矩陣A稱密鑰

例3、自然界生物種群的成長受到多種條件因素的影響，比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災害等等。因此，它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關系。但是，如果沒有任何限制，種群也會泛濫成災�，F(xiàn)假設兩個互相影響的種群X，Y隨時間段變化的數(shù)量分別為{a_n}，{b_n}，并有關系式，其中a₁＝6，b₁＝4，試分析20個時段后這兩個種群的數(shù)量變化趨勢。

解：設=，M=，=M，M的特征多項式f(λ)==0故特征值為4或-1，對應的特征向量分別是=，=，=2+2

=M²⁰=2×4²⁰+2×(-1)²⁰≈

所以，20個時段后這兩個種群的數(shù)量分別約為2⁴²和3×2⁴¹