北京市西城區(qū)2009年抽樣測(cè)試

    高三數(shù)學(xué)試卷(文科)                  2009．1

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．

題號(hào)

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

分?jǐn)?shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅰ卷  (選擇題  共40分)

 

一、本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

1．若集合A={1，2，3，4}，B={2，4，7，8}，C={1，3，4，5，9}，則集合(A∪B)∩C等于(    )

    A．{2，4}                               B．{1，2，3，4}

    C．{2，4，7，8}                         D．{1，3，4}

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2．若向量a=(1，2)，b=(－3，4)，則(a?b)( a+b)等于(     )

    A．20                                   B．(－10，30)

    C．54                                   D．(－8，24)

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3．若tanα=，且sinα?cotα<0，則sinα等于(     )

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    A．－                                 B．

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C．－                                 D．

 

 

高三數(shù)學(xué)文科 第1頁(yè)(共8頁(yè))

試題詳情

4．已知函數(shù)f(x)=3x，那么函數(shù)f (x)的反函數(shù)f-1(x)的定義域?yàn)?     )

   A．{x| x >1}                         B．{ x | x >0}

C．{ x | x >0且x≠l}                  D．R

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5．已知m是平面α的一條斜線，點(diǎn)Aα，l為過(guò)點(diǎn)A的一條動(dòng)直線，那么下列情形可能

   出現(xiàn)的是(     )

   A．l∥m，l⊥α                       B．l⊥m，l⊥α

   C．l⊥m, l∥α                        D．l∥m, l∥α

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6．分配4名水暖工去3個(gè)不同的居民家里檢查暖氣管道．要求4名水暖工都分配出去，且

   每個(gè)居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有(    )

   A．A43種                           B．A33A31種

   C．C42A33種                         D．C41C31A33種

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7．已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2，0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(      )

   A．圓                                B．橢圓

   C．雙曲線                            D．拋物線

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8．如圖，有一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，在P處有一

   棵樹與兩墻的距離分別是am (0<a<12)、4m，不考慮樹

   的粗細(xì)．現(xiàn)在想用16m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩

   形的花圃ABCD．設(shè)此矩形花圃的最大面積為S，若將這

   棵樹圍在花圃內(nèi)，則函數(shù)S=f(a)(單位m2)的圖象大致是(      )

試題詳情

 

 

 

 

高三數(shù)學(xué)文科 第2頁(yè)(共8頁(yè))

北京市西城區(qū)2009年抽樣測(cè)試

試題詳情

    高三數(shù)學(xué)試卷(文科)                 2009．1

第Ⅱ卷  (共110分)

試題詳情

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．

9．若雙曲線的離心率為2，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，0)，(2，0)，則此雙曲線的方程為

                     ．

 

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10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足             則z=2x+4y的最大值為          ．

 

試題詳情

11．在(2x+)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為          ．

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12．若A，B兩點(diǎn)在半徑為2的球面上，且以線段AB為直徑的小圓周長(zhǎng)為2π，則此球的表面積為          ，A，B兩點(diǎn)間的球面距離為          ．

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13．對(duì)于函數(shù)f(x)=sin x，g(x)=cos x，h(x)= x+，有如下三個(gè)命題：

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    ①f(x)－g(x)的最大值為；

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    ②f [h(x)]在區(qū)間[－，0]上是增函數(shù)；

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    ③將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位可得g(x)的圖象．

    其中真命題的序號(hào)是         ．

試題詳情

14．已知f(x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)m、n使得

h(x)= mf(x)+ ng(x)，

    那么稱h(x)為f(x)、g(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù)．

設(shè)f(x)=x2+x、g(x)=x+2，若h(x)為f(x)、g(x)在R上生成的一個(gè)偶函數(shù)，且f(1)=3,則函數(shù)h(x)=           ．

高三數(shù)學(xué)文科 第3頁(yè)(共8頁(yè))

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

15．(本小題滿分12分)

試題詳情

    在△ABC中，a、b、c分別是三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)a=4，c=3，cos=．

    (Ⅰ)求b的值；

(Ⅱ)求△ABC的面積．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

16．(本小題滿分12分)

    在甲、乙兩個(gè)批次的某產(chǎn)品中，分別抽出3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．已知甲、乙批次每件產(chǎn)

試題詳情

品檢驗(yàn)不合格的概率分別為、，假設(shè)每件產(chǎn)品檢驗(yàn)是否合格相互之間沒有影響．

    (Ⅰ)求至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格的概率；

(Ⅱ)求甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格件數(shù)恰好比乙批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格件數(shù)多2件的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學(xué)文科 第4頁(yè)(共8頁(yè))

試題詳情

17．(本小題滿分14分)

試題詳情

    如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．

試題詳情

    (Ⅰ)求證：PD⊥BC；

  (Ⅱ)求二面角B-PD-C的大��；

  (Ⅲ)求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學(xué)文科 第5頁(yè)(共8頁(yè))

試題詳情

18．(本小題滿分14分)

試題詳情

    設(shè)函數(shù)f(x)= x3－2x2+ax(a∈R)在其圖象上一點(diǎn)A(2，m)處切線的斜率為－1．

    (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(b－1，b)內(nèi)的極值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學(xué)文科 第6頁(yè)(共8頁(yè))

試題詳情

19．(本小題滿分14分)

    給定拋物線C：y2=4 x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

    (Ⅰ)設(shè)l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)| FA|=2| BF|，求直線l的方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學(xué)文科 第7頁(yè)(共8頁(yè))

試題詳情

20．(本小題滿分14分)

    已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=l，數(shù)列{an+Sn}是公差為2的等差數(shù)列．

    (I)求a2，a3；

    (Ⅱ)證明數(shù)列{an－2}為等比數(shù)列；

(Ⅲ)判斷是否存在λ(λ∈Z)，使不等式Sn-n+l≥λan對(duì)任意的n∈N*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學(xué)文科 第8頁(yè)(共8頁(yè))

 

試題詳情

           高三數(shù)學(xué)試卷(文科)                  2009.1

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

A

B

C

C

B

C

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．x2-=1  10．14    11．160   12．16π, π  13．①②    14．-3x2+6

注：兩空的題目，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.（本小題滿分12分）

    （Ⅰ）解：因?yàn)閏os B=2cos2-1=，              …………………………3分

          在△ABC中，由余弦定理b2= a2+c2-2accos B,

          得b2=16+9-24×=22，

          所以b=；                              …………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知cos B=，B∈（0, π）,

           所以sim B=，               …………………………9分

           由三角形的面積公式S=acsin B,

      得S=×4×3×=.

 所以△ABC的面積為.             …………………………12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記“至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格”為事件A.   ……………1分

         由題意，事件A包括以下兩個(gè)互斥事件：

①事件B：有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格.由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生k次的概率公式，得P（B）=C23；     ……………… 3分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第1頁(yè)（共8頁(yè)）

②事件C：3件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)都不合格.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式，得

P(C)=()3=；

所以，“至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格”的概率為P(A)= P(B)+ P(C)= ；

……………… 6分

（Ⅱ）解：記“甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格件數(shù)比乙批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格件數(shù)多2件”為事件D.由題意，事件D包括以下兩個(gè)互斥事件:

①     事件E：3件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)都不合格，且有1件乙批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格.其概率

P(E)=()3C13()1(1-)2=；                  ……………… 9分

②     事件F:有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格,且有0件乙批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格.其概率

P(F)=C23()2(1-).(1-)3=;

所以,事件D的概率為P(D)= P(E)+ P(F)=            …………… 12分

17.(本小題滿分14分)

方法一：(Ⅰ)證明：∵平面PCD⊥平面ABCD．

         又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD．

         ∴BC⊥平面PCD，        ……………………3分

         ∵PD平面PCD,

    ∴BC⊥PD；  　　　       …………………4分

    (Ⅱ)解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，

       ∵△PCD為正三角形，

       ∴CE⊥PD，

       由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD，

       ∴CE是BE在平面PCD內(nèi)的射影．

       ∴BE⊥PD，

       ∴∠CEB為二面角B-PD-C的平面角，                  ……………………7分

       在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=，

       ∴tan∠CEB==，

        ∴二面角B-PD-C的大小為arctan;                …………………10分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第2頁(yè)（共8頁(yè)）

（Ⅲ）解：過(guò)D作DF⊥PC于F，

      ∵BC⊥平面PCD，

      ∴BC⊥DF.

             ∵PC∩BC=C.

      ∴DF⊥平面PBC,且BF∩平面PBC=F,

∴DF為點(diǎn)D到平面PBC的距離,                       …………………13分

  在等邊△PCD中, DC=2, DF⊥PC,

  ∴CF=1,DF=,

∴點(diǎn)A到平面PBC的距離等于.                    …………………14分

方法二：(Ⅰ)證明：取CD的中點(diǎn)為O，連接PO，

   ∵PD=PC，∴PO⊥CD，

   ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

   ∴PO⊥平面ABCD，      ………………………2分

    如圖，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)O作OM⊥CD交AB于M,

以O(shè)為原點(diǎn)，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系O-xyz，

    則B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，－l，0)，P(0，0，)，

    ∵=(0，－l，－)，=(－2，0，0)，

    ∴?=0，

    ∴BC⊥PD；                                           …………………4分

(Ⅱ)解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，如(Ⅰ)建立空間坐標(biāo)系，則E(0，－，)，

    ∵△PCD為正三角形，

    ∴CE⊥PD，

        ∵=(－2，－2，0)，=(－2，－1，)，

        ∴==，

∴BE⊥PD，

∴∠CEB為二面角B-PD- C的平面角，               ………………………7分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第3頁(yè)（共8頁(yè)）

 

        ∵=(2，，-)，=(0，，-)，

        ∴cos∠BEC===，

        ∴二面角B-PD- C的大小為arccos                    ……………10分

(III)解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥平面PBC于F，

    ∴DF為點(diǎn)D到平面PBC的距離，設(shè)=h，

        ∵=(-2，0，0)，= (0，-1，)，

        ∴=0，即BC⊥CP，

        ∴△PBC的面積S△PBC=|BC|?|PC|=2，

        ∵三棱錐D-PBC的體積VD-PBC=VP-BCD，

        ∴S△PBC=S△BCD，即，解得h=，

        ∴點(diǎn)D到平面PBC的距離為．                         ……………14分

18．（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù) f′(x)= x2-4x+a,                    ………………2分

         由題意，得f′(2)=-4+a=-1，

         所以a=3,

         故f(x)=x3-2 x2+3 x；                                ………………5分

   （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知f′(x)= x2-4 x+3，

         由f′(x)= x2-4 x+3=0，得x=1，或x=3.

         x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

 

x

(-∞，1)

1

(1，3)

3

(3，+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

極大值

極小值0

 

………………8分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第4頁(yè)（共8頁(yè)）

所以,當(dāng)b1或b-13時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值；      ……………………10分

          當(dāng)b-1＜1,且b＞1時(shí),函數(shù)f(x)在x=1時(shí),有極大值,此時(shí)函數(shù)無(wú)極小值；

          當(dāng)b-1＜3,且b＞3時(shí),函數(shù)f(x)在x=3時(shí),有極小值0,此時(shí)函數(shù)無(wú)極大值；

          當(dāng)b-11,且b3時(shí), 函數(shù)f(x)無(wú)極值.   ……………………13分

故當(dāng)b∈(-∞,1]∪[2,3]∪[4,+ ∞)時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值;

          當(dāng)b∈(1,2)時(shí),函數(shù)f(x)在x=1時(shí),有極大值,此時(shí)函數(shù)無(wú)極小值;

          當(dāng)b∈(3,4)時(shí),函數(shù)f(x)在x=3時(shí),有極小值0,此時(shí)函數(shù)無(wú)極大值.………14分

19．(本小題滿分14分)

    方法一：(Ⅰ)解：由題意，得F(1，0)，直線l的方程為y=x-1．

   由，得x2-6 x +1=0，

          設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A (x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x0，y0)，

          則x1=3+2，x2=3-2，y1= x1-1=2+2，y2= x2-1=2―2，

          故點(diǎn)A(3+2，2+2)，B(3-2，2-2)，            ……………3分

       所以x0==3，y0= x0-1=2，

          故圓心為M(3，2)，直徑=，

          所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3)2+( y-2)2=16；          ………………6分

(Ⅱ)解：因?yàn)?sub>=2，三點(diǎn)A，F(xiàn)，B共線且點(diǎn)A，B在點(diǎn)F兩側(cè)，

     所以=，

     設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A (x1，y1)，B(x2，y2)，則=（x1-1，y1），（1-x2，-y2），

     所以                   ①

     因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線C上，

所以y12=4x1，y22=4x2，                    ②           ………………10分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第5頁(yè)（共8頁(yè)）

     由①②，解得    或

     所以A(2,2)，B(,-)，或A(2,-2)，B(,)，………13分

     故直線l的方程為2x-y-2=0，或2x+y-2=0.     ………14分

方法二：(Ⅰ)解:由題意,得F(1,0),直線l的方程為y=x-1.

        由，得x2-6x+1=0,

    設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x0,y0),

        因?yàn)椤?62-4=32＞0,所以x1+ x2=6, x1x2=1,

        所以x0==3,y0= x0-1=2,故圓心為M(3,2),         ………………3分

        由拋物線定義,得=+=(x1+)+(x2+)= x1+ x2+p=8,

        所以= x1+ x2+P=8(其中p=2).

        所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3)2+( y-2)2=16；       ………………6分

(Ⅱ)解：因?yàn)?sub>=2，三點(diǎn)A, F，B共線且點(diǎn)A, B在點(diǎn)F兩側(cè)，

   所以=2，

   設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2)則=（x1-1，y1），=（1-x2，-y2），

所以                    ①         ………………9分

設(shè)直線AB的方程為y= k(x-1)或x=1（不符合題意，舍去）.

由，消去x得ky2-4y-4k=0，

因?yàn)橹本�l與C相交于A, B兩點(diǎn)，所以k≠0，

則Δ=16+16k2>0，y1+y2=，y1 y2=-4，       ②   

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第6頁(yè)（共8頁(yè)）

 由①②，得方程組，解得或，……13分

       故直線l的方程為x- y-=0，或 x + y-=0.       ……14分

20.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解:∵數(shù)列{an+Sn}是公差為2的等差數(shù)列，

∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2，

即an+1=，                                              ……2分

∵a1=1，

∴a2=，a3=；                                             ……4分

(Ⅱ)證明：由題意，得a1-2=-1，

    ∵

∴{an-2}是首項(xiàng)為-1，公比為的等比數(shù)列；                    ……8分

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得an-2=-()n-1，

    ∴an =2-()n-1，

∵{an+Sn}是首項(xiàng)為a1+ S1=2，公差為2的等差數(shù)列，

∴an+Sn=2+(n-1)×2=2n，

∴Sn=2n-2+()n-1，                                        ……9分

設(shè)存在整數(shù)λ，使不等式Sn-n+ 1λan對(duì)任意的n∈N*成立，

即存在整數(shù)λ，使不等式n-1+()n-1λ[2-()n-1]對(duì)任意的n∈N*成立，

∴當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，解得λ1，                         ……10分

以下證明存在最大的整數(shù)λ=1，使不等式Sn-n+ 1λan對(duì)任意的n∈N*成立.

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第7頁(yè)（共8頁(yè)）

當(dāng)n=2時(shí),不等式化簡(jiǎn)為，成立；

當(dāng)n3時(shí)，∵（Sn-n+ 1）-an=n-3+()n-2>0，

           ∴（Sn-n+ 1）>an成立.

綜上,知存在整數(shù)λ，使不等式Sn-n+ 1λan對(duì)任意的n∈N*成立,且λ的最大值為1.

                                                                     ……14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第8頁(yè)（共8頁(yè)）

 


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