�？谑�2007年高考適應(yīng)性測(cè)試
數(shù)學(xué)(理科)試題卷
注意事項(xiàng)：
1．本次考試的試卷分為試題卷和答題卷，本卷為試題卷，請(qǐng)將答案和解答寫(xiě)在答題卷指定的位置，在試題卷和其它位置解答無(wú)效．
2．本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P（A?B）＝P（A）?P（B）
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 
正態(tài)分布密度曲線(xiàn)是下列函數(shù)的圖像：
，
，其中實(shí)數(shù)
和
為參數(shù)．
特別有：
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；每小題選出答案后，請(qǐng)用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在本卷上作答無(wú)效)
1．設(shè)集合
，
，則
等于
A．
B．
C．
D．
2．命題：“設(shè)
，
，
，若
，則
”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為
A．0 B．
3．已知向量
，
，且
⊥
，則
A．
B．
C． 
D．
4．已知
是函數(shù)
的一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)
的零點(diǎn)是
A．
B．
C．
D．2或1
5．函數(shù)
的最小正周期是
A．
B．
C．
D．
6．已知函數(shù)
，則
的值是
A．
B．
7．二項(xiàng)式
的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是
A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第5項(xiàng)或第6項(xiàng) D．第4項(xiàng)或第7項(xiàng)
8．從
名男生和
名女生中選出
人組成一個(gè)英語(yǔ)社團(tuán)，若按性別比例分層抽樣，則不同的抽樣方法有
A．
種
B．
種
C．
種
D．
種
9．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)
名年齡在
歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重
服從正態(tài)分布
，且正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，若體重在
屬于正常情況，則這名男生中屬于正常情況的人數(shù)約是
A．
B．
C．
D．
10．如圖，已知點(diǎn)
是平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)
在拋物線(xiàn)
上移動(dòng)，點(diǎn)
是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則
的最小值是
A．
B．
C．
D．
11．在△
中，若
，則△的形狀一定是
A．等腰直角三角形 B．直角三角形或等腰三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
12．已知有序?qū)崝?shù)對(duì)
滿(mǎn)足不等式組
，則目標(biāo)函數(shù)
的最小值是
A．
B． C．
D．
二．填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分；請(qǐng)把答案填在答題卷中指定的位置)
13．曲線(xiàn)
在
處的切線(xiàn)方程是_______________．
14．設(shè)
是虛數(shù)單位，且
，則
=______________．
15．如圖，類(lèi)比點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，平面的方程可表示為
，則點(diǎn)
到平面的距離是_____________．
16．在銳角△中，已知
，
，
，則
=__________．
三．解答題（本大題共5小題，共64分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．請(qǐng)將答題的過(guò)程寫(xiě)在答題卷中指定的位置）
17．（本小題滿(mǎn)分分）
數(shù)列
的前項(xiàng)和為
，且
，…，求:
（Ⅰ）
的值；
（Ⅱ）數(shù)列的通項(xiàng)公式．
18．（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖所示，在三棱柱
中，側(cè)棱垂直于底面，
，
，
，
為
的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求直線(xiàn)
與平面
所成的角的余弦值．
19．（本小題滿(mǎn)分12分）
某城市的給水系統(tǒng)是由三級(jí)提升站組成，每級(jí)提升站由3個(gè)并列的水泵組成，每個(gè)水泵的正常運(yùn)行率為
.在夜間每個(gè)提升站至少要有1臺(tái)水泵能正常運(yùn)行，則這個(gè)提升站才不需要緊急維修；若一個(gè)提升站的3臺(tái)水泵都不能正常運(yùn)行，則這個(gè)提升站需要緊急維修．
（Ⅰ）求需緊急維修的提升站數(shù)
的分布列；
（Ⅱ）假設(shè)每個(gè)提升站至多緊急維修1次，緊急維修1個(gè)提升站的費(fèi)用為元，求緊急維修費(fèi)用
（元）的分布列和數(shù)學(xué)期望．
20．（本小題滿(mǎn)分14分）
對(duì)于定義域?yàn)閰^(qū)間
的函數(shù)
，如果
同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：
（1）在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
（2）存在區(qū)間
，使得在
上的值域?yàn)?sub> ．
那么稱(chēng)函數(shù)為上的 “封閉函數(shù) ”，
區(qū)間 稱(chēng)為“封閉函數(shù) ”的
“封閉區(qū)間”．
(Ⅰ)求“封閉函數(shù)
”
的“封閉區(qū)間”．
(Ⅱ)判斷
是否為
上的“封閉函數(shù) ”，并說(shuō)明理由．
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù)
，使函數(shù)
是上的“封閉函數(shù) ”?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知橢圓
的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在
軸上，離心率
，短半軸長(zhǎng)
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)
，
分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)
：
（
），當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)（縱坐標(biāo)不為
）上移動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)
、線(xiàn)段
的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓分別相交于、
兩點(diǎn)，且以
為直徑的圓恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值．
四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時(shí)，請(qǐng)注明題號(hào)；若多做，則按首做題計(jì)入總分，滿(mǎn)分10分. 請(qǐng)將答題的過(guò)程寫(xiě)在答題卷中指定的位置）
22．如圖，直線(xiàn)
是
的割線(xiàn)，
是的切線(xiàn)，且
，求證：
．
23．設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，傾斜角為
，圓的方程為：
．
（Ⅰ）求直線(xiàn)的參數(shù)方程；
�。á颍┮灾苯亲鴺�(biāo)系的原點(diǎn)
為極點(diǎn)，軸的正半軸為極
軸建立極坐標(biāo)系，求圓的極坐標(biāo)方程．
24．已知：不等式
的解集為，不等式
的解集為，若
，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．
�？谑�2007年高考適應(yīng)性測(cè)試
考 生 填 寫(xiě) 座 位
號(hào) 碼 的 末 兩 位
題 號(hào)
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；每小題選出答案后，請(qǐng)用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).)
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
B
A
C
D
D
C
D
得分
評(píng)卷人
二．填空題(請(qǐng)把答案填在對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線(xiàn)上)
13.
. 14．
.
15．
. 16. 
（或
） .
三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)將答題的過(guò)程寫(xiě)在答題卷中指定的位置.）
17.( 本題滿(mǎn)分12分)
解：（Ⅰ）由遞推關(guān)系
（2分）得，
（3分）；
；
（6分），
（Ⅱ）由
，即
（7分），所以
；.........12分（不單列
扣1分）
18．（本題滿(mǎn)分12分）
證明：（Ⅰ） 在三棱柱
中，
∵側(cè)棱垂直底面
，
∴ 四邊形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
為
中點(diǎn)，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....4分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....6分
又 
，
∴ 
．..........8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴ 直線(xiàn)
與平面
所成的角為
．..........9分
在
中，
∴ 
，...............11分
即 直線(xiàn)
與平面
所成的角的余弦值為
．.......12分
解法二：（Ⅰ）以
為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
，
，
，
（3分），則 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（5分），
∴ 
，
∴ 
，∴（7分）
又 
，∴ ．....8分
（Ⅱ）設(shè)向量
與
的夾角為
，
∵
，
∴
....10分
設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為
∵
平面
∴
∴直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.…………………………12分
19．（本題滿(mǎn)分12分）
解：（Ⅰ）每個(gè)提升站需要緊急維修的概率為
（2分），不需要緊急維修的概率為
（3分），設(shè)需要維修的提升站數(shù)為
，則
．
， （4分）
， （5分）
， （6分）
．（7分）
（Ⅱ）∵
，∴ 
的取值是
，則（元）的分布列是：
..................（9分）
∵
，∴
，又 ，
∴ 
．
（或
）
答：緊急維修費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望是750元．..........12分
20.（本題滿(mǎn)分14分）
解： (Ⅰ)設(shè)“封閉函數(shù) ” 
的“封閉區(qū)間”為
，其中
．
在
上為減函數(shù)，故有：
，
解得：
，
，
∴ 
的“封閉區(qū)間”為
．.........4分
(Ⅱ)
，令
，得：
....6分
∴ 
在(
，0)上是增函數(shù)，在(2 ，+)上也是增函數(shù)；在(0 ，2)上是減函數(shù)．
顯然在上不是單調(diào)函數(shù)，故不是
上的“封閉函數(shù) ”．...8分
(Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)
，使函數(shù)
是上的“封閉函數(shù) ”且“封閉區(qū)間”是，則
(1) 函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)．
，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則
對(duì)
恒成立，則：
；解得：
．...10分
(2) 由，知
，故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以， 函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)，故有：
，∵，∴
，從而方程
至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
又方程有一根為，故：方程
至少有一個(gè)不為的根．
∴
，解得：
且
0..........13分
由(1)，(2)知：3．..........14分
21.（本題滿(mǎn)分14分）
解：（Ⅰ）∵離心率
，且短半軸長(zhǎng)，
∴ 
，∴
，
∴ 橢圓
的方程為
．.............5分
（Ⅱ）設(shè)
，則
，
，則
（6分），則直線(xiàn)
的方程為
，聯(lián)立
，得
（8分），
（或?qū)懗桑?sub>
（8分），
（或
，即 
（8分）
∵ 
，∴ 
）
解之：
，
（10分），
∴ 
（11分），
（或
，
（11分），）
又 ∵、
、
三點(diǎn)共線(xiàn)，∴ 
（12分），而 
，
∴ 
，..............13分
（或
（13分），解之：
......14分）
∵ 
，∴ 
，解之： .........14分．
四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時(shí)，請(qǐng)注明題號(hào)；若多做，則按首做題計(jì)入總分,滿(mǎn)分10分； 請(qǐng)將答題的過(guò)程寫(xiě)在答題卷中指定的位置）
你選做_______題(請(qǐng)?jiān)跈M線(xiàn)上注明題號(hào))
解（或證明）：
22.證明：∵
是
的切線(xiàn)，直線(xiàn)
是的割線(xiàn)
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴ 
，∴
（5分），
∵ 
，
∴ △
與△
兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23.解:（Ⅰ）直線(xiàn)
的參數(shù)方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）設(shè)
，則
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圓的極坐標(biāo)方程為
．.........10分
24.解：由
得 
，∴不等式的解集為
（4分）
∵
∴當(dāng)
≤1時(shí)，為空集，顯然成立，......6分
當(dāng)＞1時(shí)，=
......8分
由
得 
或
或
，即，
這與＞1矛盾，
綜合上述得：≤1．.......10分
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