江蘇省南京市2009年高三二模模擬考試

數(shù)學

 (考試時間：120分鐘；滿分：160分)

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上．

1.已知,則=            

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2.定義運算，則符合條件的復數(shù)為 ___      _ 

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3.已知圓截軸所得弦長為16，則的值是       

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4.設，函數(shù)有意義, 實數(shù)m取值范圍          

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5.已知則當取得最小值時，橢圓的離心率是____  

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6.已知命題p:“”，命題q:“”若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是                ．

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7.給出冪函數(shù)①；②；③；④；⑤．

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其中滿足條件>（）的函數(shù)的序號是            

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8.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖

中△ABC是邊長為2的正三角形，俯視圖為

正六邊形，那么該幾何體的體積為_____     

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9.若已知不等式的取值都成立，則的取值范圍為                   

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10.的內角的對邊分別為，若，，則的取值范圍是                 

 

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11.如圖，一個粒子在第一象限運動，在第一秒末，它從原點運動到（0，1），接著它按如圖所示的x軸、y軸的平行方向來回運動，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒移動一個單位，那么第2009秒末這個粒子所處的位置的坐標為_               

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12.若正方形邊長為1，點在線段上運動， 則的最大值是            

 

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13.執(zhí)行右邊的程序框圖，若＝0.9，則輸出的　　　

 

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14.已知：M={a|函數(shù)在[]上是增函數(shù)}，N={b|方程有實數(shù)解}，設D=，且定義在R上的奇函數(shù)在D內沒有最小值，則m的取值范圍是            

說明、證明過程或演算步驟．

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二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字

15.（本小題滿分14分）

如圖，已知三棱錐P―ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB中點，M為PB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．

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（I）求證：平面；

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（II）求證：平面PAC⊥平面ABC；

（Ⅲ）若M為PB的中點，求三棱錐M―BCD的體積．

 

 

 

 

 

 

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16.（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)且給定條件

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   （Ⅰ）在條件下求的最大值及最小值；

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   （Ⅱ）若又給條件且是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍

 

 

 

 

 

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17.（本小題滿分14分）

某工廠有216名工人接受了生產(chǎn)1000臺GH型高科技產(chǎn)品的總任務，已知每臺GH型產(chǎn)品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成.每個工人每小時能加工6個G型裝置或3個H型裝置.現(xiàn)將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置.設加工G型裝置的工人有x人，他們加工完G型裝置所需時間為g（x），其余工人加工完H型裝置所需時間為h（x）（單位：小時，可不為整數(shù)）.

（1）寫出g（x），h（x）的解析式；

（2）比較g（x）與h（x）的大小，并寫出這216名工人完成總任務的時間f（x）的解析式；

（3）應怎樣分組，才能使完成總任務用的時間最少？

 

 

 

 

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18.（本小題滿分16分）

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設橢圓的左右焦點分別為、，是橢圓上的一點，且

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，坐標原點到直線的距離為．

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

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（Ⅱ）設是橢圓上的一點，過點的直線交軸于點，交軸于點，若，求直線的斜率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19.（本小題滿分16分）

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已知數(shù)列中，，，其前項和滿足

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其中（，）．

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（1）求數(shù)列的通項公式；

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（2）設為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立．

 

 

 

 

 

 

 

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20.（本小題滿分16分）

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已知函數(shù)．

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（I）當時，求函數(shù)的極值；

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  （II） 若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點連線的斜率都小于2，求證：；

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  （III）對任意的圖像在處的切線的斜率為，求證：是成立的充要條件．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

江蘇省2009屆高三南京二模模擬考試一

 

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1. －               2.             3.             4.

5.                6. 或    7. ④             8.

9.    10. （２，４］       11. （28，44）      12.

13. 5                14. m>

 

15.（1）【證明】∵△PAB中， D為AB中點，M為PB中點，∴

∵DM平面，PA平面，∴平面            ……3分

（2）【證明】∵D是AB的中點，△PDB是正三角形，AB=20，

文本框: ∴                ……4分

∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，……5分

又∵AP⊥PC，……6分

∴AP⊥平面PBC．∴AP⊥BC．……8分

又∵AC⊥BC， AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．……9分

∵ ∴平面PAC⊥平面ABC．……10分

（3）【解】由（1）知，由（2）知PA⊥平面PBC， 

∴DM⊥平面PBC．……11分

∵正三角形PDB中易求得，

 ……13分

∴……14分

 

16．解：（Ⅰ）∵

   ………………………………………………………………4分

又∵   ……………………………………6分

即 

∴ymax=5，  ymin=3   …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）∵  ……………………………10分

又∵P為q的充分條件 ∴   ………………………………………13分 

解得  3<m<5    ……………………………………………………………………14分

 

17. 解：（1）由題意知，需加工G型裝置4000個，加工H型裝置3000個，所用工人分別為x人，（216－x）人.

∴g（x）=，h（x）=，

即g（x）=，h（x）=（0＜x＜216，x∈N*）. ……………………4分

（2）g（x）－h（x）=－=.

∵0＜x＜216，

∴216－x＞0.

當0＜x≤86時，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；

當87≤x＜216時，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.

∴f（x）= ……………………8分

（3）完成總任務所用時間最少即求f（x）的最小值.

當0＜x≤86時，f（x）遞減，

∴f（x）≥f（86）==.

∴f（x）min=f（86），此時216－x=130.

當87≤x＜216時，f（x）遞增，

∴f（x）≥f（87）==.

∴f（x）min=f（87），此時216－x=129.

∴f（x）min=f（86）=f（87）=.

∴加工G型裝置，H型裝置的人數(shù)分別為86、130或87、129……………………14分

18. （Ⅰ）由題設知

由于，則有，所以點的坐標為……..2分

故所在直線方程為…………3分

所以坐標原點到直線的距離為

又，所以  解得： …………5分

所求橢圓的方程為…………6分

（Ⅱ）由題意可知直線的斜率存在，設直線斜率為

直線的方程為，則有…………8分

設，由于、、三點共線，且

根據(jù)題意得,解得或…………14分

又在橢圓上，故或

解得,綜上，直線的斜率為或     …………16分

19. 解：（1）由已知，（，），

即（，），且．

∴數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列．

∴．

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．

（?）當為奇數(shù)時，即恒成立，

當且僅當時，有最小值為1，

∴．

（?）當為偶數(shù)時，即恒成立，

當且僅當時，有最大值，

∴．

即，又為非零整數(shù)，則．

綜上所述，存在，使得對任意，都有．

20.解：（I）                            2分

由得，或

而，列出下表

0

―

0

+

0

―

遞減

極小值

遞增

極大值

遞減

所以，當時，取得極小值，極小值等于；

當時，取得極大值，極大值等于；                 6分

（II）設函數(shù)、，    不妨設

   

      （注：若直接用來證明至少扣1分）                           10分

（III）時，

                                                                16分

 

 

 

 


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