安徽省巢湖市2009屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)（理科）試題

 

命題人：   廬江二中   孫大志      柘皋中學(xué)   孫  平       巢湖四中   胡善俊

 

參考公式：

1.球的表面積公式，其中表示球的半徑.

2.球的體積公式，其中表示球的半徑.

3.柱體的體積公式 ，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高.

4.錐體的體積公式 ，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高.

5. 線性回歸方程中的的計(jì)算公式.

 

    一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

1.設(shè)集合，則為                                                                    

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A.       B.     C.     D.

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2. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若 ，則                             

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A.1004               B.2008               C.2009              D.2010

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3. 函數(shù)的最小正周期為，且其圖像向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象                        

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A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱                 B．關(guān)于直線對(duì)稱

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C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱                D．關(guān)于直線對(duì)稱

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4．  已知為直線，為平面，則下列命題中真命題的是

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A.            B. 若，則   

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C.            D.

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5．已知雙曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線與曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），則雙曲線的離心率為                

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A.               .              C.               D.  

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6. 下列結(jié)論：

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 ①是周期為的必要條件；

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    ②；

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    ③“，使得”是假命題,則；

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④某校在巢湖市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，則.

其中正確的是                                                         

A. ②③        B.③④        C. ①②③        D. ①②③④

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7．已知向量，則的最小值為

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A. 1           B.          C.      D.

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8. 某廠一月份、二月份、三月份、四月份的利潤(rùn)分別為2、4、4、6（單位：萬(wàn)元），用線性回歸分析估計(jì)該廠五月份的利潤(rùn)為                                       

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       A．6.5萬(wàn)元                 B．7萬(wàn)元                C．7.5萬(wàn)元               D． 8萬(wàn)元

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9. 下圖是把二進(jìn)制的數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)的一個(gè)程序框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是                                                               

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A.    B.   　　C.    　　D.

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10.關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為   

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A          B.         C.           D.

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11.已知集合，集合，若向區(qū)域內(nèi)投一點(diǎn),則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為                    

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A.            B.            C.              D.

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12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>導(dǎo)函數(shù)為，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為         

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A.   B.   C.   D.

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分16分.

13.已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為，若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為                 .

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14. 如圖是甲乙兩同學(xué)在高三的5次月考成績(jī)的莖葉圖，         甲        乙

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根據(jù)莖葉圖對(duì)甲乙兩人的考試成績(jī)作比較，請(qǐng)你寫(xiě)出               5   7

兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論：                                         8  6  1   8   0  2  6  7

①                                                   ；        5   9   0

②                                                .

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15. 二項(xiàng)式展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)依次組成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于_              _.

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16.一個(gè)球的表面積為，則它的內(nèi)接圓柱的體積的最大值是         .

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17. （本小題滿分12分）

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已知向量，設(shè)

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（Ⅰ）求函數(shù) 在上的零點(diǎn)；

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（Ⅱ）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知 ，求邊的值．

 

 

 

 

 

 

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    （Ⅰ）求三棱錐A-PDC的體積；
    （Ⅱ）試在PB上求點(diǎn)M，使得CM∥平面PDA；
    

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    (Ⅲ)  在BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得二面角A-PD-Q為？若存在，確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
     
     
     
    

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    19. （本小題滿分12分）
        某社區(qū)舉辦2010年上海世博會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng). 抽獎(jiǎng)規(guī)則是:盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)會(huì)徽”或“海寶”（世博會(huì)吉祥物）圖案.參加者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎(jiǎng).
    

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     （Ⅰ）活動(dòng)開(kāi)始后，一位參加者問(wèn)：盒中有幾張“海寶”卡？主持人笑說(shuō)：我只知道若從盒中抽兩張都不是“海寶”卡的概率是.求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；
    

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    （Ⅱ）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng)，抽后放回，另一人再抽.用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù).求的分布列及．
     
     
     
    

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    20. （本小題滿分12分）
    

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          圓、橢圓、雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，它們統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線：
    

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    已知直線與曲線：交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若直線和(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率都存在，則.
    這個(gè)性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.
    （Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；
    （Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問(wèn)題：
    

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    ①    
過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡的方程；
    

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    ②    
過(guò)點(diǎn)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.
     
     
     
     
     
    

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    21.（本小題滿分12分）
    

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    已知函數(shù).
    

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    （Ⅰ）若在處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
    

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      （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間的最大值.
     
     
     
     
    

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    22. （本小題滿分14分）
    

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    已知數(shù)列滿足, .
    

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    （Ⅰ）若，證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
    

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    （Ⅱ）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由；
    

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    （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明.
     
    巢湖市2009屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)
    

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    一、 A C C D
A  B D B A C    D C
    二、13.   14. ①甲乙的平均數(shù)相同，均為85；② 甲乙的中位數(shù)相同，均為86；       ③乙的成績(jī)較穩(wěn)定，甲的成績(jī)波動(dòng)性較大；……       15.       16. 
    三、17（Ⅰ）
               
=
               
=
    由得，或
    由得 或.
    故函數(shù)的零點(diǎn)為和.       ……………………………………6分
    （Ⅱ）由，得 
    由得 .又
    由得  
            
，  
                     
……………………………………12分
    18. 由三視圖可知：，底面ABCD為直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2
                        
       …………3分
    (Ⅱ) 當(dāng)M為PB的中點(diǎn)時(shí)CM∥平面PDA.
    取PB中點(diǎn)N,連結(jié)MN，DN，可證MN∥DN且MN＝DN
    ∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA                              
 …………6分
     (Ⅲ)分別以BC、BA、BP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
    假設(shè)在BC邊上存在點(diǎn)Q，使得二面角A-PD-Q為   
    ∴
     
    同理，，可得
    =，
    解得………………………………………12分
    19. （Ⅰ）設(shè)“世博會(huì)會(huì)徽”卡有張，由,得=6.
     故“海寶”卡有4張. 抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為.                
…………6分
    （Ⅱ），    的分布列為 
    或
       
    1
    2
    3
    4
     
    p
                                                                
            ………………………………12分
    20. （Ⅰ）證明 設(shè)
    相減得   
    注意到   
    有        

    即              
         …………………………………………5分
    （Ⅱ）①設(shè) 
    由垂徑定理，
    即        
    化簡(jiǎn)得   
    當(dāng)與軸平行時(shí)，的坐標(biāo)也滿足方程.
    故所求的中點(diǎn)的軌跡的方程為；
    …………………………………………8分
    ②    
假設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，且P為的中點(diǎn)，則
             

    由于  
    直線，即，代入曲線的方程得
           
 即    
            
由  得.
    故當(dāng)時(shí)，存在這樣的直線，其直線方程為；
    當(dāng)時(shí)，這樣的直線不存在.        ………………………………12分
    21. （Ⅰ）
    由得                   …………………………3分      
    　　　
    當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
    故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.   ………………………5分
    （Ⅱ）由（Ⅰ）
    由得  
    當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
    在處取得極大值, 
    ……………………………………7分
    （1）      
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間為遞減 ，
    （2）    
當(dāng)時(shí)， ，
    （3）      
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間為遞增 ，
                                      
                                             
………………………………………12分
    22. （Ⅰ）
             

                 
…………………………………6分
    （Ⅱ）解法1：由，得
    猜想時(shí)，一切時(shí)恒成立.
    ①當(dāng)時(shí)，成立.
    ②設(shè)時(shí)，，則由
    得=
    *時(shí)，
    由①②知時(shí)，對(duì)一切，有.   ………………………………10分
    解法2：假設(shè)
    記，可求
    故存在，使恒成立.           
…………………………………10分
    （Ⅲ）證法1：
    ，由（Ⅱ）知
                                        
…………………………………14分
    證法2：
    猜想.數(shù)學(xué)歸納法證明
    ①當(dāng)時(shí)，成立
    ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立
    由①②對(duì)，成立，下同證法1。
                                         
      …………………………………14分
     
     
     
     
    
				
	
    
		
    


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