（1）復數(shù)的值是                                                                                                     （A）－1         （B）1             （C）－32           （D）32

（2）tan15°+cot15°的值是                                                                                 

       （A）2                 （B）2+        （C）4                 （D）

（3）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件；

    命題q：函數(shù)y=的定義域是（－∞，－1∪[3，+∞.則                     （A）“p或q”為假         （B）“p且q”為真  

       （C）p真q假                                      （D）p假q真

（4）已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，過F₁且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF₂是真正三角形，則這個橢圓的離心率是   

       （A）            （B）            （C）            （D）

（5）已知m、n是不重合的直線，α、β是不重合的平面，有下列命題：

①若mα，n∥α，則m∥n；

②若m∥α，m∥β，則α∥β；

③若α∩β=n，m∥n，則m∥α且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，則α∥β.

其中真命題的個數(shù)是                                                                                       

       （A）0              （B）1               （C）2              （D）3

（6）某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為                                                                                

       （A）                                      （B）     

（C）                                         （D）

（7）已知函數(shù)y=log₂x的反函數(shù)是y=f^―1(x)，則函數(shù)y= f^―1(1－x)的圖象是      

（8）已知a、b是非零向量且滿足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，則a與b的夾角是          （A）          （B）        （C）                 （D）

（9）若(1-2^x)⁹展開式的第3項為288，則的值是                       （A）2     （B）1             （C）               （D）

（10）如圖，A、B、C是表面積為48π的球面上三點，

AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O為球心，則直線

OA與截面ABC所成的角是

       （A）arcsin                                        （B）arccos

       （C）arcsin                                         （D）arccos

（11）定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當x∈[3，5]時，f(x)=2－|x－4|，則     （A）f(sin)<f(cos)                   （B）f(sin1)>f(cos1)

       （C）f(cos)<f(sin)                （D）f(cos2)>f(sin2)

（12）如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C

地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流

的沒岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離

比到B的距離遠2 km.現(xiàn)要在曲線PQ上

選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運

貨物.經(jīng)測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，

那么修建這兩條公路的總費用最低是

       （A）(2－2)a萬元                           （B）5a萬元            

       （C）(2+1) a萬元                           （D）(2+3) a萬元

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

（13）直線x+2y=0被曲線x²+y²－6x－2y－15=0所截得的弦長等于            .

   (x≠0)，

（14）設(shè)函數(shù)f(x)=      a    (x=0).       在x=0處連續(xù)，則實數(shù)a的值為            .

（15）某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：

①他第3次擊中目標的概率是0.9；

②他恰好擊中目標3次的概率是0.9³×0.1；

③他至少擊中目標1次的概率是1-0.1⁴.

其中正確結(jié)論的序號是            （寫出所有正確結(jié)論的序號）.

（16）如圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各

切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一

個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的

底面邊長為         時，其容積最大.

（17）（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)f(x)=a?b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.

（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；

（Ⅱ）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值.

（18）（本小題滿分12分）

甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.

（Ⅰ）求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學期望；

（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

（19）（本小題滿分12分）

在三棱錐S―ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點.

（Ⅰ）證明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N―CM―B的大�。�

（Ⅲ）求點B到平面CMN的距離.

（20）（本小題滿分12分）

某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進行技術(shù)改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數(shù)）.

（Ⅰ）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為A_n萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為B_n萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求A_n、B_n的表達式；

（Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？

（21）（本小題滿分14分）

     已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).

（Ⅰ）求實數(shù)a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（22）（本小題滿分12分）

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.

（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.

2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學答案（理工類）（福建卷）

（1）A      （2）C     （3）D     （4）A     （5）B     （6）C 

（7）B      （8）B     （9）A     （10）D    （11）D    （12）B

（13）4    （14）1/2    （15）1，3   （16）2/3  

（17） 本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查運算能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）依題設(shè)，f(x)=2cos²x+sin2x=1+2sin(2x+).

由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－.

∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，

即x=-.

（Ⅱ）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x－m)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象.

由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1.

∵|m|<，∴m=-，n=1.

（18）本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學知識解決問題的能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）依題意，甲答對試題數(shù)ξ的概率分布如下：

ξ

0

1

2

3

P

甲答對試題數(shù)ξ的數(shù)學期望

Eξ=0×+1×+2×+3×=.

（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則

P(A)===，

P(B)===.

因為事件A、B相互獨立，

方法一：

∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為

P()=P()P()=1－)(1－)=.

∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

P=1－P()=1－=.

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

方法二：

∴甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為

P=P(A?)+P(?B)+P(A?B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)

=×+×+×=.

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

（19）本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力.滿分12分.

解法一：（Ⅰ）取AC中點D，連結(jié)SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

過E作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，

則NF⊥CM.

∴∠NFE為二面角N－CM－B的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.

在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，

∴二面角N―CM―B的大小是arctan2.

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，

∴S_△CMN=CM?NF=，S_△CMB=BM?CM=2.

設(shè)點B到平面CMN的距離為h，

∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN?h=S_△CMB?NE，

∴h==.即點B到平面CMN的距離為.

解法二：（Ⅰ）取AC中點O，連結(jié)OS、OB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面  ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標系O－xyz.

則A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).

∴=（－4，0，0），=（0，2，－2），

∵?=（－4，0，0）?（0，2，－2）=0，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，

           ?n=3x+y=0，

則                                    取z=1，則x=，y=-，

?n=－x+z=0，

∴n=(，－，1)，

又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，

∴cos(n，)==.

∴二面角N－CM－B的大小為arccos.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）為平面CMN的一個法向量，

∴點B到平面CMN的距離d==.

（20）本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識，考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）依題設(shè)，A_n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n²；

B_n=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.

（Ⅱ）B_n－A_n=(500n－－100) －(490n－10n²)

=10n²+10n－－100=10[n(n+1) － －10].

因為函數(shù)y=x(x+1) －－10在（0，+∞）上為增函數(shù)，

當1≤n≤3時，n(n+1) － －10≤12－－10<0；

當n≥4時，n(n+1) － －10≥20－－10>0.

∴僅當n≥4時，B_n>A_n.

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤.

（21）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

解：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，

∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(shè)(x)=x²－ax－2，

方法一：

           (1)=1－a－2≤0，

①                                －1≤a≤1，

               (－1)=1+a－2≤0.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.     

方法二：

       ≥0，                   <0，

①                     或

           (－1)=1+a－2≤0          (1)=1－a－2≤0

       0≤a≤1         或       －1≤a<0

       －1≤a≤1.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=-1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩實根，

             x₁+x₂=a，

∴                            從而|x₁－x₂|==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設(shè)g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

         g(－1)=m²－m－2≥0，

②

             g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二： 當m=0時，②顯然不成立；   當m≠0時，

          m>0，                   m<0，

②                      或

            g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

（22）本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依題意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，           ①

得y＇=x.

∴過點P的切線的斜率k_切= x₁，∵x₁=0不合題意，∴x₁≠0