2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅱ）

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時間120分鐘.

 

第I卷 

 

文本框: 球的表面積公式 S=4 其中R表示球的半徑， 球的體積公式 V= 其中R表示球的半徑 參考公式：

       如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

       如果事件A、B相互獨(dú)立，那么

P（A?B）=P（A）?P（B）

       如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

Pn(k)=CPk(1－P)n－k

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

（1）已知集合，則集合=                       （A）{0}      （B）{0，1} （C）{1，2}                            （D）{0，2}

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（2）函數(shù)的反函數(shù)為                                                                           （A）      （B）

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       （C）                          （D）

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（3）過點(diǎn)（－1，3）且垂直于直線的直線方程為                                   （A）   （B）

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       （C）                               （D）

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（4）=                                                                                                        （A） （B）       （C）           （D）

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（5）不等式的解集為                                                                               （A）       （B）

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       （C）                      （D）

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（6）等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于

       （A）160                 （B）180                 （C）200                 （D）220

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（7）對于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是                                                （A）如果、n是異面直線，那么

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       （B）如果、n是異面直線，那么相交

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       （C）如果、n共面，那么

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       （D）如果、n共面，那么

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（8）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，且它的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為                                        

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（A）                                 （B）

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       （C）                                  （D）

（9）從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔(dān)任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有    

（A）210種             （B）420種             （C）630種             （D）840種

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（10）已知球的表面積為20π，球面上有A、B、C三點(diǎn).如果AB=AC=2，BC=，則球心到平面ABC的距離為                                                                                                 

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（A）1                   （B）                （C）                （D）2

（11）△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊.如果a、b、c成等差數(shù)列，

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         ∠B=30°，△ABC的面積為，那么b=                                                                     （A）       （B）         （C）        （D）

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（12）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則

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         （A）0                   （B）1                     （C）                  （D）5

 

第Ⅱ卷

 

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）展開式中的系數(shù)為              .

（14）向量a、b滿足（a－b）?（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，則a與b夾角的余弦值等于

                 .

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（15）函數(shù)的最大值等于         .

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（16）設(shè)滿足約束條件：

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則的最大值是                .

（17）（本小題滿分12分）

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

已知α為第二象限角，且 sinα=求的值.

（18）（本小題滿分12分）

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       求函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（19）（本小題滿分12分）

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       某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題.競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分.假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

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（Ⅰ）求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

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（Ⅱ）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即≥0）的概率.

 

 

 

 

 

（20）（本小題滿分12分）

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（Ⅰ）求四棱錐P―ABCD的體積；

（Ⅱ）證明PA⊥BD.

 

 

 

 

 

 

 

 

（21）（本小題滿分12分）

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       雙曲線的焦點(diǎn)距為2c，直線過點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線的距離與點(diǎn)（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的   取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（22）（本小題滿分14分）

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       已知函數(shù)的所有正數(shù)從小到大排成數(shù)列

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（Ⅰ）證明數(shù)列{}為等比數(shù)列；

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（Ⅱ）記是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

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一、選擇題

（1）D      （2）C      （3）A      （4）D      （5）A      （6）B

（7）C      （8）A      （9）B      （10）A     （11）B     （12）C

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）28    （14）   （15）    （16）2

三、解答題

（17）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識和基本技能.滿分12分.

解：

                     

   當(dāng)為第二象限角，且時

   ，

所以=

（18）本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的最大值、最小值以及綜合運(yùn)算能力.滿分12分.

   解：

令 

化簡為  解得

當(dāng)單調(diào)增加；

當(dāng)單調(diào)減少.

所以為函數(shù)的極大值.

又因?yàn)?nbsp; 

所以   為函數(shù)在[0，2]上的最小值，為函數(shù)

在[0，2]上的最大值.

（19）本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念，以及運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力.滿分12分.

   解：（Ⅰ）的可能值為－300，－100，100，300.

P（=－300）=0.23=0.008, P（=－100）=3×0.22×0.8=0.096,

P（=100）=3×0.2×0.82=0.384, P（=300）=0.83=0.512,

所以的概率分布為

－300

－100

100

300

P

0.008

0.096

0.384

0.512

根據(jù)的概率分布，可得的期望

E=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.

（Ⅱ）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P（≥0）=0.384+0.512=0.896.

   解：（Ⅰ）如圖1，取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，則PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連結(jié)OE.

根據(jù)三垂線定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO為側(cè)面PAD與底面所成的二面角的平面角，

由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=3，四棱錐P―ABCD的體積

VP―ABCD=

（Ⅱ）解法一：如圖1，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.通過計(jì)算可得

P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）

所以

因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/0b9f8cfbed50b52836de70a0a153a9a6.zip/55806/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr5\0b9f8cfbed50b52836de70a0a153a9a6.zip\55806\2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（必修+選修1）.files\image191.png" > 所以PA⊥BD.

解法二：如圖2，連結(jié)AO，延長AO交BD于點(diǎn)F.通過計(jì)算可得EO=3，AE=2，

    
 
    
  
  
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          得
          所以  Rt△AEO∽Rt△BAD.
                  得∠EAO=∠ABD.
                  所以∠EAO+∠ADF=90°
             所以  AF⊥BD.
             因?yàn)?nbsp; 直線AF為直線PA在平面ABCD 內(nèi)的身影，所以PA⊥BD.
          （21）本小題主要考查點(diǎn)到直線距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運(yùn)算能力.滿分12分.
            解：直線的方程為，即  
          由點(diǎn)到直線的距離公式，且，得到點(diǎn)（1，0）到直線的距離
          ，
          同理得到點(diǎn)（－1，0）到直線的距離
          由   即   
          于是得  
          解不等式，得   由于所以的取值范圍是
          （22）本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，以及綜合運(yùn)用的能力.滿分14分.
          （Ⅰ）證明：
          由得
          解出為整數(shù)，從而
                  
            
                 所以數(shù)列是公比的等比數(shù)列，且首項(xiàng)
          （Ⅱ）解：
                   

          從而   
               
          因?yàn)?img  src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/0b9f8cfbed50b52836de70a0a153a9a6.zip/55806/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr5\0b9f8cfbed50b52836de70a0a153a9a6.zip\55806\2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（必修+選修1）.files\image257.png"
>，所以
          
				
	
          
		
          


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