Question

【題目】有一個豎直光滑輕軒固定在質(zhì)量的寬大底座中央．一不可伸長的輕繩長，一端固定在桿頂，另一端連接在一個套在桿上的小輕環(huán)上，小輕環(huán)可沿桿自由運動（桿長略大于）．另在輕繩上串一個可視為質(zhì)點且小孔光滑的小珠，質(zhì)量為．平衡態(tài)下，小珠靠在小輕環(huán)上．之后給小珠一個與水平面夾向上的速度．在整個過程中，底座處于水平面內(nèi)不會翻轉(zhuǎn)．問：小珠上升過程中，為使底座水平不動，地面和底座的靜摩擦系數(shù)至少應(yīng)為多少？

Answer 1

【答案】

【解析】

由于環(huán)與桿無摩擦，又由繩張力的作用，輕環(huán)與小珠相連線時刻與桿垂直．如圖所示，以桿為軸，端點為原點，垂直方向為軸建坐標(biāo)系，小珠運動軌跡應(yīng)滿足

，即

故小珠運動軌跡為一拋物線，頂點為為求每一點曲率半徑，建立以下模型：小球以由高處平拋至地面，有

于是

令，有

設(shè)，則對任一點有，

速度方向

又由于， 且，，有

于是對任一處有，

可知初時，，的方向正好沿軌道切線

速度方向

向心力方向

受合力

受向心力為

再考慮，當(dāng)坐標(biāo)時，有

而，即有

解出

不妨設(shè)，那么

考慮底座的受力

于是

為求最大值，，有

估計大約值為

運用切線法，有

做大略圖。由圖發(fā)現(xiàn)，處為極大值

所以，