Question

（2013?開(kāi)封一模）在原子核物理中，研究核子與核關(guān)聯(lián)的最有效途徑是“雙電荷交換反應(yīng)”．這類反應(yīng)的前半部分過(guò)程和下述力學(xué)模型類似．兩個(gè)小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處于靜止?fàn)顟B(tài)．在它們左邊有一垂直于軌道的固定擋板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v₀．射向B球，如圖所示．C與B發(fā)生碰撞并立即結(jié)成一個(gè)整體D．在它們繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度變到最短時(shí)，長(zhǎng)度突然被鎖定，不再改變．然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動(dòng)，A與P接觸而不粘連．過(guò)一段時(shí)間，突然解除鎖定（鎖定及解除鎖定均無(wú)機(jī)械能損失）．已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m．
（i）求彈簧長(zhǎng)度剛被鎖定后A球的速度．
（ii）求在A球離開(kāi)擋板P之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析：（i）C球與B球粘連成D時(shí)由動(dòng)量守恒定律列出等式，當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，D與A的速度相等由動(dòng)量守恒定律解答彈簧長(zhǎng)度剛被鎖定后A球的速度．
（ii）彈簧長(zhǎng)度被鎖定后由能量守恒列出等式，解除鎖定后，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)自然長(zhǎng)度時(shí)，勢(shì)能全部轉(zhuǎn)變成D的動(dòng)能由能量守恒和動(dòng)量守恒定律列出等式求解．

解答：解：（i）設(shè)C球與B球發(fā)生碰撞并立即結(jié)成一個(gè)整體D時(shí)，D的速度為v₁，由動(dòng)量守恒有：
mv₀=（m+m）v₁… ①
當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，D與A的速度相等，設(shè)此速度為v₂，由動(dòng)量守恒有：
2mv₁=3mv₂… ②
由①②兩式得A的速度為：v₂=

1

3

v0
（ii）設(shè)彈簧長(zhǎng)度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢(shì)能為E_p，由能量守恒有：

1

2

?2mv

2 1

=

1

2

?3m

v

2 2

+E_p
撞擊P后，A與D的動(dòng)能都為零，解除鎖定后，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，勢(shì)能全部轉(zhuǎn)變成D的動(dòng)能，設(shè)D的速度為v₃，
則有：E_p=

1

2

(2m)

v

2 3

以后彈簧伸長(zhǎng)，A球離開(kāi)檔板P，并獲得速度，當(dāng)A、D的速度相等時(shí)，彈簧伸至最長(zhǎng)．
設(shè)此時(shí)的速度為v₄，由動(dòng)量守恒定律得：2mv₃=3mv₄
當(dāng)彈簧伸到最長(zhǎng)時(shí)，其勢(shì)能最大，設(shè)此勢(shì)能為E_P′，
由能量守恒定律得：

1

2

(2m)

v

2 3

=

1

2

(3m)

v

2 4

+E_P′，
由以上各式解得：E_P′=

1

36

m

v

2 0

答：（i）彈簧長(zhǎng)度剛被鎖定后A球的速度為

1

3

v0．
（ii）在A球離開(kāi)擋板P之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能是

1

36

m

v

2 0

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)量守恒定律及能量守恒定律的應(yīng)用，關(guān)鍵要知道當(dāng)彈簧伸到最長(zhǎng)時(shí)，其勢(shì)能最大．