Question

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P，其質(zhì)量m=2×10^-2 kg，電荷量q=0.2 C。將彈簧拉至水平后，以初速度V₀=20 m/s豎直向下射出小球P，小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O₁點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V=15 m/s。若O、O₁相距R=1.5 m，小球P在O₁點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的弱強(qiáng)磁場(chǎng)。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運(yùn)動(dòng)。小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s²。那么
（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過(guò)程中，其彈力做功為多少？
（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度。
（3）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請(qǐng)推導(dǎo)出r的表達(dá)式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角）。

Answer 1

解：（1）設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：�、�
代入數(shù)據(jù)得：W＝-2.05J�、�
（2）由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場(chǎng)力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有 ③
而 ④
若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得V＜v₁，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)。P、N碰后瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)。有： ⑤
P、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t_N，P經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t_P。設(shè)此時(shí)N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為θ，有： ⑥
 ⑦
代入數(shù)據(jù)，得： ⑧
對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有： ⑨
經(jīng)計(jì)算得：t_N＜T
P經(jīng)過(guò)t_P時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為α，有： ⑩
當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有：

聯(lián)立相關(guān)方程得：
比較得，，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有：

同上得：
比較得，，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同
（3）當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，
再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，
同理得：
考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有（給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）